Die Graphen sind verschoben und/oder durch Streckung erstanden (Lückentext)

Question

Hallöle,

Ich(wir) wieder, wir haben nun die letzte Aufgabe fertig gemacht und hier brauchen wir bitte nur einmal noch eine Richtige lösung und dann sind wir fertig für heute und bei der Verschiebung bräuchten wir wenn es geht eine erklärung wie man drauf kommt: Dankeschön und schönen Abend noch. LG Von einen kleinen lern Gruppe

Aufgabe: Die Graphen \( g_{1}, g_{2} \) und \( g_{3} \) sind aus dem Graphen von \( f \) mit \( f(x)=x^{4} \) durch Verschiebung oder durch Streckung entstanden.

a) Beschreibe, wie die Graphen g jeweils entstanden sind.
\( g_{1} \) : Spiegelung an der ____-Achse und Streckung mit a = _______ .
\( \mathrm{g}_{2}: \) Verschiebung um __________
\( g_{3} \) : Verschiebung um __________
b) Gib den Funktionsterm der Graphen g an.
\( g_{1}(x)= \)_________ ; \( g_{2}(x)= \)___________ ; \( g_{3}(x)= \)___________
c) Vervollständige die Aussagen zur Symmetrie:
Die Graphen von \( f, g_{1} \) und \( g_{2} \) sind symmetrisch zur ____________ .
Der Graph von \( \mathrm{g}_{3} \) ist symmetrisch zur ____________ .

Answer 1

a) Beschreibe, wie die Graphen g jeweils entstanden sind.

g1: Spiegelung an der x-Achse und Streckung mit a = 0.25

g2: Verschiebung um -3 in x y-Richtung

g3: Verschiebung um 3 in x-Richtung

b) Gib den Funktionsterm der Graphen g an.

g1(x) = -0.25 * x^4

g2(x) = x^4 - 3

g3(x) = (x - 3)^4

c) Vervollständige die Aussagen zur Symmetrie:

Die Graphen von f, g1 und g2 sind symmetrisch zur y-Achse.

Der Graph von g3 ist symmetrisch zur Geraden x= 3.

Answer 2

Hallo Lerngruppe Leonie,

Die Graphen sehen wohl so aus:

https://www.desmos.com/calculator/noqdweyosi

\(g_1\) (rot) entsteht durch Spiegelung an der X-Achse und Streckung mit dem Faktor \(a=1/4\) $$g_1(x) = - a f(x) = - \frac 14 x^4$$

\(g_2\) (blau) entsteht durch Verschiebung um 3 Einheiten nach unten \(\Delta y = -3\)$$g_2(x) = f(x) + \Delta y = x^4 - 3$$

\(g_3\) (grün) entsteht durch Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts \(\Delta x = +3\)$$g_3(x) = f(x - \Delta x) = (x - 3)^4$$

Die Graphen \(f\), \(g_1\) und \(g_2\) sind symmetrisch zur Y-Achse. Der Graph von \(g_3\) ist symmetrisch zur Vertikalen \(x=3\)

... und bei der Verschiebung bräuchten wir wenn es geht eine erklärung wie man drauf kommt

Die vertikale Verschiebung sollte verständlich sein. Wenn eine Funktion \(y=f(x)\) vorliegt, so ist \(x\) die horizontale Koordinate und \(y\) die Senkrechte. Man wählt ein \(x\) und berechnet das \(y\). Und mit$$y^* = f(x) + \Delta y$$wird jedes \(y\) um \(\Delta y\) größer und rutscht damit nach oben, wenn \(\Delta y \gt 0\) ist und nach unten wenn \(\Delta y \lt 0\) ist.

Umgekehrt gilt, wenn der blaue Graph genau um 3 Einheiten gegenüber dem schwarzen nach unten gerutscht ist, so muss \(\Delta y = -3\) sein.

Bei der horizontalen Verschiebung ist es etwas kniffliger, aber im Grunde genauso. Wenn etwas um \(\Delta x \gt 0\) (also nach rechts) verschoben werden soll, muss \(x\) größer (!) werden. Dazu müsste man die Funktion invertieren (umdrehen!), damit wir das \(x\) verändern können. Aus $$y = x^4$$wird so $$x = \sqrt[4]{y}$$und nun um \(\Delta x\) verschieben - genau so(!) wie bei Y - und das ganze zurück verwandeln$$\begin{aligned} x &= \sqrt[4]{y} \,{\color{red}+}\, \Delta x &&|\, - \Delta x \\ x - \Delta x &= \sqrt[4]{y} &&|\, ..^4 \\(x - \Delta x)^4 &= y &&|\, \leftrightarrow \\ y &= (x- \Delta x)^4\end{aligned}$$natürlich spart man sich das Hin- und Her-Umgewandele und setzt hinter jedes \(x\) in \(f(x)\) gleich ein \(\dots - \Delta x\).

Ich wollte nur demonstrieren, dass es zwischen \(x\) und \(y\) im Grunde keinen Unterschied beim Verschieben gibt.

Falls noch Fragen offen sind, so meldet Euch bitte.

Gruß Werner

Comments

oh mein Gott. Vielen Vielen Dank.... Da gabs sogar Antworten auf Fragen die wir nichtmal gestellt hatten VIELEN DANK WIRKLICH SEHR SEHR DANKBAR!!!!!!!!!

Schönen Abend ihnen noch geehrter Werner!