Wie berechnet man bei dieser Matrix hoch 1000?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man bei dieser Matrix hoch 1000?

Problem/Ansatz:

( 1 1

0 1 )

Es ist ja keine Diagonalmatrix.

Meine Idee war irgendwie auseinanderziehen und binomischer Lehrsatz, aber da komme ich in der Rechnung nicht weiter, also

(1 0        + ( 0 1

 0 1 )           0 0)

und das alles hoch tausend. Ist das richtiger Ansatz und wie vollendet man den richtig?

Comments

Man zeigt relativ leicht, dass \(\small\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\) ist.

Answer 1

Hallo,

Wie berechnet man bei dieser Matrix hoch 1000?

Du kannst ja erstmal damit beginnen \(M^2\) oder \(M^3\) zu berechnen:$$\begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1& 2\\ 0& 1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^3 =\begin{pmatrix}1& 3\\ 0& 1\end{pmatrix}$$Sieht doch schon interessant aus - oder? Versuchen wir es doch mal mit$$\begin{pmatrix}1& a\\ 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& b\\ 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& a+b\\ 0& 1\end{pmatrix}$$Und mit ein wenig Nachdenken folgt daraus direkt$$\begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^{1000} = \begin{pmatrix}1& 1000\\ 0& 1\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Comments

aber ich muss sowas formal zeigen können.

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aber ich muss sowas formal zeigen können

versuche es mal mit vollständiger Induktion. Zeige dass$$\begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1& n\\ 0& 1\end{pmatrix}$$ Falls Du es nicht hin bekommst, melde Dich nochmal.