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Aufgabe:

Wie berechnet man bei dieser Matrix hoch 1000?


Problem/Ansatz:

( 1 1

0 1 )

Es ist ja keine Diagonalmatrix.

Meine Idee war irgendwie auseinanderziehen und binomischer Lehrsatz, aber da komme ich in der Rechnung nicht weiter, also

(1 0        + ( 0 1

 0 1 )           0 0)

und das alles hoch tausend. Ist das richtiger Ansatz und wie vollendet man den richtig?

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Man zeigt relativ leicht, dass (1101)n=(1n01)\small\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix} ist.

1 Antwort

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Hallo,

Wie berechnet man bei dieser Matrix hoch 1000?

Du kannst ja erstmal damit beginnen M2M^2 oder M3M^3 zu berechnen:(1101)2=(1201)(1101)3=(1301)\begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1& 2\\ 0& 1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^3 =\begin{pmatrix}1& 3\\ 0& 1\end{pmatrix}Sieht doch schon interessant aus - oder? Versuchen wir es doch mal mit(1a01)(1b01)=(1a+b01)\begin{pmatrix}1& a\\ 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& b\\ 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& a+b\\ 0& 1\end{pmatrix}Und mit ein wenig Nachdenken folgt daraus direkt(1101)1000=(1100001)\begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^{1000} = \begin{pmatrix}1& 1000\\ 0& 1\end{pmatrix}Gruß Werner

Avatar von 49 k

aber ich muss sowas formal zeigen können.

aber ich muss sowas formal zeigen können

versuche es mal mit vollständiger Induktion. Zeige dass(1101)n=(1n01)\begin{pmatrix}1& 1\\ 0& 1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1& n\\ 0& 1\end{pmatrix} Falls Du es nicht hin bekommst, melde Dich nochmal.

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