Grundsätzlich ja. Die rekursive Formel lautet
\( m_{i+1} = m_i \cdot 98,5\ \% + 0,025\ mg \).
Um von der rekursiven zu einer expliziten Formel zu gelangen, ersetze ich zwecks Verallgemeinerung \( p \equiv 98,5\ \% \) und \( a \equiv 0,025\ mg \) und lasse für die Massen die Einheiten weg: \( m_{i+1} = m_i \cdot p + a \)
Probieren führt zu:
\( m_0 = 0 \)
\( m_1 = a \)
\( m_2 = pa + a \)
\( m_3 = p^2 a + pa +a\)
\( \dots \)
\( m_i = a \sum_{j=0}^{i} p^j = a \frac{1 - p^{i+1}}{1 - p} \)
Der letzte Schritt benutzt die Darstellung für eine Partialsumme der geometrischen Reihe (
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe) für \( p \neq 1 \).
Somit ist eine explizite Darstellung für die \( i \)-te Masse gefunden. Diese Darstellung kannst du nun (unter anderem mittels Logarithmieren) nach \( i \) umstellen.
PS: Eine Alternative wäre
\( m_{i+1} = (m_i + 0.025\ mg) \cdot 98,5\ \% \),
wenn Elvis die Zigarette nach und nicht vor dem Abbau von \( 1,5\ \% \) raucht. Die Gleichung für die stationäre Masse folgte dann wegen \( m_{i+1} = m_i \equiv m \) (stationärer Zustand)
\( m = (m + 0,025\ mg) \cdot 98,5\ \% \)
zu
\( m =\frac{0,025 \cdot 98,5\ \%}{1,5\ \%} = 1,641\bar{6} < \frac{5}{3} \),
was ein bisschen kleiner als \( \frac{5}{3} = 1,\bar{6} \) ist.
