Lösen der DGL y´(x) + y(x) = x

Question

Aufgabe:

y´(x) + y(x) = x

Lösen der Differenzialgleichung mit folgendem Randwertproblem.

y(0)=1

Problem/Ansatz:

ich brauche unbedingt hilfe beim lösen dieser Differenzialgleichung.

Für mich ist dies eine inhomogene Dgl.

Ich hatte versucht mit der Methode (Trennung der Variablen) die dgl zu lösen, jedoch erfolglos.

Ich würde mich sehr um ein Ansatz freuen.

Gruß  Frost

Answer 1

Hallo

1. die homogene Dgl lösen, danach eine partikuläre Lösung suchen , entweder mit variation der Konstanten, oder mit Ansatz nach Art der rechten Seite also y=Ax+B einsetzen  in die Dgl. und A, B bestimmen. Zu der homogenen Lösung addieren, danach die Anfangsbestimmung einsetzen um die Konstante zu bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten

->Zuerst Lösung der homogenen DGL

y'+y=0 durch Trennung der Variablen.

Setze dann C= C(x)

part. Lösung bestimmen

y=yh+yp

Zum Schluss AWB in die Lösung einsetzen. y(0)=1

Lösung: y= 2e^(-x) +x-1

Comments

Geil Jungs!!

Vielen Dank, habe alles verstanden.

Ihr rettet mir echt mein studium..

Gruß Frost

Answer 3

Aloha :)

Wenn du eine einzige spezielle Lösung \(y_s(x)\) der Differentialgleichung$$y'(x)+y(x)=x$$findest, brauchst du nur noch die homogene Lösunge zu addieren.

Eine spezielle Lösung erkennt man sofort:$$y_s(x)=x-1$$und die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist schnell gefunden:$$y'_0(x)+y_0(x)=0\implies\frac{y'_0(x)}{y_0(x)}=-1\stackrel{(\text{integrieren})}{\implies}\ln|y_0(x)|=-x+C_1\implies$$$$y_0(x)=e^{-x}\cdot \underbrace{e^{C_1}}_{\eqqcolon C}=Ce^{-x}$$Wir addieren noch die spezielle Lösung:$$y(x)=y_0(x)+y_s(x)=Ce^{-x}+x-1$$

Aus der Anfangsbedingung \(y(0)=1\) folgt noch \(C=2\).