Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bestimmte Rosine in ein bestimmtes Brötchen gelangt.

Question

Aufgabe:

In den Teig von 30 Rosinenbrötchen mischt ein Bäcker 100 Rosinen. Wie diese verteilt sind, ist zufällig.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bestimmte Rosine in ein bestimmtes Brötchen gelangt.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei ein Brötchen ohne Rosine entsteht.

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brötchen mindestens eine Rosine enthält.

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brötchen genau drei Rosinen enthält.

Problem/Ansatz:

… Wie genau muss ich bei diesen Aufgaben vorgehen?

Answer 1

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bestimmte Rosine in ein bestimmtes Brötchen gelangt.

Für jede Rosine gibt es 30 Brötchen zur Auswahl. Damit ist die Wahrscheinlichkeit nach Laplace 1/30, dass die Rosine in ein ganz bestimmtes Brötchen kommt.

Notfalls vereinfache dir die Aufgabenstellung und mache es zunächst mit 2 Brötchen und 4 Rosinen. Dann kannst du die Möglichkeiten noch abzählen und Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Dann bekommst du auch ein besseres Gefühl wie man an solche Aufgaben rangeht.

Was die Aufgabe etwas schwierig macht ist das in Aufgabenteil b) bis d) nur noch von ein Brötchen gesprochen wird. Vermutlich ist auch hier ein bestimmtes Brötchen gemeint.

Comments

Notfalls vereinfache dir die Aufgabenstellung [...] Dann bekommst du auch ein besseres Gefühl wie man an solche Aufgaben rangeht.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei ein Brötchen ohne Rosine entsteht.

Nehmen wir mal an wir haben 3 Brötchen und 2 Rosinen

Die erste Frage, die sich mir stellt ist, was ist n und was ist k?
n = Anzahl der Rosinen = 2
k = Anzahl der Brötchen = 3

Und die zweite Frage, welche Formel wendet man hier an?

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Die erste Frage, die sich mir stellt ist, was ist n und was ist k?

Wir wählen für jede Rosine das Brötchen aus, in die die Rosine kommt. k ist also die Anzahl der Rosinen und n ist die Anzahl der Brötchen.

Damit könnte eine Auswahl wie folgt lauten.

Damit wäre die Ergebnismenge Ω = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (2,1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2), (3, 3)}

Dabei bedeutet (1,1), dass beide Rosinen im ersten Brötchen befinden.

Könntest du für jedes Brötchen auch die Rosine auswählen, die das Brötchen bekommt? Das geht hier wohl nicht.

Und die zweite Frage, welche Formel wendet man hier an?

Der Vereinfachung halber machen wir hier die Brötchen und die Rosinen unterscheidbar, geben ihnen also Nummern. Dann wäre die Anzahl der Möglichkeiten n^k oder 3^2 = 9. Das sind auch die Elemente in der Ergebnismenge.

Du kannst auch sagen wir nehmen ohne Beachtung der Reihenfolge.

Also (1, 2) ist das gleiche wie (2, 1). Beachte das dann jedes Ergebnis allerdings nicht mehr gleichwahrscheinlich ist.

Daher wird zugunsten der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft angenommen ich kann Dinge unterscheiden obwohl man es theoretisch nicht kann.

Die Frage ist dann wonach genau gefragt ist. Ist nach der Anzahl der Möglichkeiten gefragt 2 Rosinen auf 3 Brötchen zu verteilen und kann man dabei weder Rosinen noch Brötchen unterscheiden gibt es nur 2 Möglichkeiten. Wir haben 2 Brötchen mit einer Rosine und ein Brötchen ohne Rosine oder man hat 1 Brötchen mit 2 Rosinen und 2 Brötchen ohne Rosine.

Letzteres Modell ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht gut geeignet,

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b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei ein Brötchen ohne Rosine entsteht.

Das heißt 29 Brötchen werden befüllt.

Nehmen wir mal an wir haben 3 Brötchen und 2 Rosinen

n = Anzahl der Brötchen = 3
k = Anzahl der Rosinen = 2

Die Ergebnismenge lautet: Ω = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (2,1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2), (3, 3)}

Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei ein Brötchen ohne Rosine entsteht, beträgt 100%, da es weniger Rosinen als Brötchen gibt.

Nehmen wir mal an wir haben 2 Brötchen und 3 Rosinen

n = Anzahl der Brötchen = 2
k = Anzahl der Rosinen = 3

Insgesamt wird es n^k Variationen geben, wenn Wiederholungen mitgezählt werden.
2^3 = 8
Die Ergebnismenge lautet: Ω = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2)

Warum gibt es hier nur 6 mögliche Ergebnisse, obwohl bei der n^k Formel 8 rauskommt?

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Weil du 3 mal das Brötchen wählen solltest. Ein Brötchen 0 gibt es nicht.

Ω = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}

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Wie würde man dann bei Aufgabe b) mit 30 Brötchen und 100 Rosinen vorgehen? Es wäre doch viel zu aufwendig für so eine große Menge die komplette Ergebnismenge Ω aufzuschreiben.

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Es langt ja, wenn du es Formal notierst

Ω = {1, 2, 3, ..., 30}^100

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Es gibt aufjedenfall 30 Möglichkeiten, dass ein Brötchen ohne Rosine entsteht.

Wie kommt man nun auf die Wahrscheinlichkeit?

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Bzw. wie würde man denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Rosine in kein Brötchen kommt, für kleine Beispiele berechnen?

Sagen wir haben 1 Rosine und 1 Brötchen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen ohne Rosine entsteht, beträgt 0%.
Doch wie lässt sich das berechnen?

Dann 1 Rosine und 2 Brötchen.
Die Wahrscheinlichkeit, in ein bestimmtes Brötchen zu gelangen beträgt 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen ohne Rosine entsteht, beträgt 50%.
Doch wie lässt sich das berechnen?

Nun 30 Rosinen und 100 Brötchen
Die Wahrscheinlichkeit, in ein bestimmten Brotteig zu gelangen, beträgt 1/30.
Wie lässt sich die Rechnung für kleine Beispiele nun auf so ein großes Beispiel übertragen?

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Mit dem üblichen Schulwissen ist das so nicht lösbar.

Die Zufallsgröße X, welche die Anzahl der Brötchen angibt, die ohne Rosine sind liegt im Intervall [0 ; 29].

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in der Schulmathematik nicht bekannt und selbst mit meinem Wissen aus dem Studium kenne diese Verteilung nicht.

Daher bin ich der Überzeugung das der Fragesteller nichts von Stochastik und Deutschformulierungen versteht und eigentlich gefragt werden sollte, die Wahrscheinlichkeit das ein ausgewähltes Brötchen keine Rosine enthält.

Das Wären einfach

P(ein ausgewähltes Brötchen enthält keine Rosine) = (29/30)^100 = 0.0337 = 3.37%

P(ein ausgewähltes Brötchen enthält mind. eine Rosine) = 1 - (29/30)^100 = 0.9663

Alles was man jetzt daraus macht ist vielleicht nur ein müder versuch die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, das man ein Brötchen ohne Rosine enthält. Aber Achtung. Das kann nur eine Näherung sein!

P(es gibt mind. ein Brötchen ohne Rosine) = 1 - 0.9663^30 = 0.6424

Man könnte hier aber leicht ein Computerprogramm schreiben, welches die exakte Wahrscheinlichkeit berechnet.

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Mit dem üblichen Schulwissen ist das so nicht lösbar.

Ich zitiere mal aus dem Heft:
"Diese Aufgaben sind sowohl vom Umfang als auch vom Anspruchsniveau geringer als in einer Abiturprüfung."

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Man könnte hier aber leicht ein Computerprogramm schreiben, welches die exakte Wahrscheinlichkeit berechnet.

Ich wäre bereit, das zu lernen um eine Lösung auf die eigentliche Frage zu finden.
Wie genau funktioniert das?

Ich habe das mal für 2 Rosinen und 3 Brötchen berechnet, bzw gezeichnet:

Es gibt 3 Möglichkeiten, wo 2 leere Brötchen entstehen und 3 Möglichkeiten wo 1 leeres Brötchen entsteht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen ohne Rosine entsteht beträgt also 50%.

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Was das Ganze so schwer macht, ist dass die Anzahl der Rosinen in den einzelnen Brötchen abhängig voneinander sind und nicht unabhängig.

Wenn du also ein Brötchen kaufst und feststellst, das dort drin zufällig alle 100 Rosinen verbacken sind, dann weißt du, dass in keinem anderen Brötchen eine Rosine ist.

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Ein Brötchen mit 100 Rosinen gibt es 30 mal.
Die Frage ist ja, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei ein Brötchen ohne Rosine entsteht. Dafür muss man ja nur ausrechnen wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt und wie viele Möglichkeiten es gibt mit einem Brötchen ohne Rosine.

Und macht das überhaupt Sinn den Brötchen eine Reihenfolge zu geben? Also das erste Brötchen kann 30 haben, das zweite kann 30 haben, etc...

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Du solltest noch lernen, dass "ein Brötchen" in der Mathematik heißt mind. ein Brötchen und nicht genau ein Brötchen.

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für ein Brötchen ohne Rosine bei 3 Brötchen und 2 Rosinen bei 100%.

Es ist gefährlich, wenn man sprachlich hier nicht aufpasst. Dann stellt ein nicht wissender Lehrer solche Aufgaben wie du sie vorliegen hast, die viel schwieriger sind als gewollt.

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Und macht das überhaupt Sinn den Brötchen eine Reihenfolge zu geben? Also das erste Brötchen kann 30 haben, das zweite kann 30 haben, etc...

Ja. Das macht durchaus Sinn, wenn man z.B. ein Computerprogramm schreibt, ist das in der Regel einfacher ohne Vertauschungen zu arbeiten und alle Möglichkeiten einfach durchprobieren.

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Du solltest noch lernen, dass "ein Brötchen" in der Mathematik heißt mind. ein Brötchen und nicht genau ein Brötchen.

Ich denke wenn "mindestens ein" gemeint ist, das ist so ein wichtiger Ausdruck, das würde man dann auch schreiben wie in Aufgabe c).

Wie schreibe ich also nun ein Computerprogramm, was relativ "leicht" geht, um ein die exakte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau ein Brötchen ohne Rosine entsteht?

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Schreibe das Programm, wie du es denkst. Wenn du es mathematisch nicht korrekt haben willst kannst du es so interpretieren wie du willst,

Wie gesagt denke ich das der Autor der Aufgabe ohnehin etwas anderes gemeint hat als er aufgeschrieben hat. Weil wie du sagst soll es ja berechenbar sein und das wäre es eben nur wenn man es geringfügig anders formuliert.

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Ich denke, in b), c) und d) wurde das Wort "bestimmtes (Brötchen" weggelassen.

Mich würde trotzdem interessieren, wie genau man nun ein solches Computerprogramm schreibt, welches die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass genau ein Brötchen drei Rosinen enthält, ... dass genau ein Brötchen keine Rosine erhält etc. Einfach um mal ein bisschen mit der Kombinatorik rumzuspielen.

Man könnte das ja beim Computerprogramm auch erstmal wieder auf leichtere Beispiele vereinfachen, um zu sehen ob das überhaupt funktioniert.

Bei 2 Rosinen und 3 Brötchen, müsste zum Beispiel 0.5 rauskommen, dass genau ein Brötchen keine Rosine erhält. Der Lehrer wird sicher lachen, wenn ich ihm überall die korrekten Antworten auf...

ein bestimmtes Brötchen mit keiner Rosine
dann wie du meinst, dass ein Brötchen = mindestens ein Brötchen mit keiner Rosine
und als dritte Möglichkeit, dass genau ein Brötchen keine Rosine erhält

gebe.

Aber bin auch einfach nur neugierig, wie das genau funktioniert mit dem Computerprogramm schreiben, hab sowas noch nie gemacht. Würde mich freuen wenn mir das jemand beibringen könnte, ansonsten mache ich dazu eventuell einen neuen Thread auf.

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Aber bin auch einfach nur neugierig, wie das genau funktioniert mit dem Computerprogramm schreiben, hab sowas noch nie gemacht. Würde mich freuen wenn mir das jemand beibringen könnte, ansonsten mache ich dazu eventuell einen neuen Thread auf.

Im Grunde probiert das Programm auch nur alle Möglichkeiten durch in genau den Schritten die du auch von Hand machen würdest. Nur das es von Hand sehr viel Länger braucht.

Wenn du keine Programmiererfahrung hast, dann ist es wohl das Beste, du stellst es im Informatik-Forum

https://www.stacklounge.de/

D.h. wir haben evtl 30 Variablen oder ein Array von 30 Variablen. Zuanfang befinden sich alle 100 Rosinen im 30. Brötchen

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

Nun legen wir eine Rosine von der letzten auf die Vorletzte Position

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 99

Das machen wir so weiter bis sich alle Rosinen auf der vorletzten Stelle befinden

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0

Nun legen wir eine Rosine auf die drittletzte Stelle und alle anderen auf die letzte Stelle

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 99

Nach diesem Schema arbeiten wir immer weiter bis sich ganz am Ende alle 100 Rosinen auf dem ersten Feld befinden.

100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dann hat man alle Möglichkeiten durchprobiert.

Als letztes kann man jetzt noch bei jeder Möglichkeit zählen wieviele Felder auf 0 stehen. Ist dies deiner Meinung nach bei genau einem Feld der Fall erhöht man einen Zähler um 1.

So zählt man also alle Möglichkeiten bei denen genau ein Brötchen ohne Rosine ist.

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a) 1/30

b) P(ein ausgewähltes Brötchen enthält keine Rosine) = (29/30)100 = 0.0337 = 3.37%

c) P(ein ausgewähltes Brötchen enthält mind. eine Rosine) = 1 - (29/30)100 = 0.9663

d) Wäre dann, wenn mit ein Brötchen, "ein bestimmtes" Brötchen gemeint ist

"Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brötchen genau drei Rosinen enthält."

Einfach die Bernoulli Formel mit n = 100 und k = 3 und p = 1/30 oder?

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Einfach die Bernoulli Formel mit n = 100 und k = 3 und p = 1/30 oder?

Ja. Wenn es ein ausgewähltes Brötchen ist, dann stimmt das mit der Bernoulliformel. Also wenn es konkret um das Brötchen geht, was du dir gerade beim Bäcker gekauft hast.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen keine Rosine erhält, liegt bei 39,8%.