Wie lautet das explizite Gesetz für die Temperatur tn nach n Minuten?

Question

Ein Getränk wird dem Kühlschrank entnommen, wo es auf 8 Grad Celsius abgekühlt wurde. Die Umgebungstemperatur beträgt 22 Grad. Alle 30 Minuten erhöht sich die Temperatur des Getränks um 25 % der Differenz aus Umgebungstemperatur und aktueller Flüssigkeitstemperatur.

a) Stellen Sie ein rekursives Gesetz für die Folge der Temperatur tn nach n Minuten auf.

b) Wie lautet das explizite Gesetz für die Temperatur tn nach n Minuten?

Answer 1

Ein Getränk wird dem Kühlschrank entnommen, wo es auf 8 Grad Celsius abgekühlt wurde. Die Umgebungstemperatur beträgt 22 Grad. Alle 30 Minuten erhöht sich die Temperatur des Getränks um 25 % der Differenz aus Umgebungstemperatur und aktueller Flüssigkeitstemperatur.

a) Stellen Sie ein rekursives Gesetz für die Folge der Temperatur tn nach n Minuten auf.

Hier würde ich es wie angegeben in 30 Minuten schritten Modellieren und nicht in Minutenschritten.

T0 = 8
T30 = 8 + 0.25*(22 - 8) = 11.5
T60 = 11.5 + 0.25*(22 - 11.5) = 14.125

Tn+30 = Tn + 0.25*(22 - Tn) = 0.75·Tn + 5.5

b) Wie lautet das explizite Gesetz für die Temperatur tn nach n Minuten?

Tn = 22 + (8 - 22)·0.75^(n/30)

Comments

Dankeschön!

Wie würde ich herausbekommen wann die Temperatur ca. 20 Grad beträgt?

Man müsste die Gleichung ja nach n auflösen also: 20 = 22+ (8-22) • 0,75 ^(n/30)

Jedoch weiß ich nicht wie ich n alleine auf eine Seite bringen kann.. also mit welcher Rechnung

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Jedoch weiß ich nicht wie ich n alleine auf eine Seite bringen kann.. also mit welcher Rechnung

Äquivalenzumformungen.

Jede Gleichung, bei der die Unbekannte nur an genau einer Stelle steht, kann direkt über Äquivalenzumformungen zur Unbekannten aufgelöst werden.

Tn = 22 + (8 - 22)·0.75^(n/30) = 20
(8 - 22)·0.75^(n/30) = 20 - 22
0.75^(n/30) = (20 - 22)/(8 - 22)
n/30 = LN((20 - 22)/(8 - 22)) / LN(0.75)
n = 30·LN((20 - 22)/(8 - 22)) / LN(0.75) = 202.9 Minuten

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Für was steht LN?

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Für was steht LN?

Für den natürlichen Logarithmus. Auf dem Taschenrechner unter ln.

Es könnte hier aber auch ein beliebig anderer Logarithmus benutzt werden.