Antwort mit KI erzeugt
a.) Beschreibung von \(t_n\) durch eine lineare homogene Rekursion mit Anfangsbedingungen
Um die Anzahl der verschiedenen Türme der Höhe \(n\), die man durch einfaches Stapeln aus diesen Bausteinen aufbauen kann, zu beschreiben, berücksichtigen wir, dass jeder Turm entweder mit einem roten, blauen, gelben, grünen oder orangen Baustein endet.
- Ein roter Baustein erhöht die Höhe um 1.
- Blaue, gelbe und grüne Bausteine erhöhen die Höhe um 2.
- Ein orangener Baustein erhöht die Höhe um 3.
Da von jeder Sorte beliebig viele Exemplare zur Verfügung stehen, können wir sagen:
- Wenn der letzte Baustein rot ist, dann gibt es für die restlichen \(n-1\) Einheiten Höhe genau \(t_{n-1}\) Möglichkeiten von Türmen.
- Wenn der letzte Baustein blau, gelb oder grün ist (also 3 Optionen für den gleichen Höhenzuwachs von 2), dann gibt es für die restlichen \(n-2\) Einheiten Höhe genau \(3t_{n-2}\) Möglichkeiten von Türmen.
- Wenn der letzte Baustein orange ist, dann gibt es für die restlichen \(n-3\) Einheiten Höhe genau \(t_{n-3}\) Möglichkeiten von Türmen.
Die Rekursionsformel, die \(t_n\) beschreibt, ist daher:
\(
t_n = t_{n-1} + 3t_{n-2} + t_{n-3}
\)
Anfangsbedingungen:
Um die Rekursionsformel lösen zu können, müssen wir die Anfangsbedingungen bestimmen. Diese geben an, wie viele verschiedene Türme für kleine Werte von \(n\) gebaut werden können:
- Für \(n = 0\) gibt es nur 1 Möglichkeit, einen Turm zu bauen, nämlich gar keinen Turm: \(t_0 = 1\).
- Für \(n = 1\) gibt es nur die Möglichkeit, einen roten Baustein zu verwenden: \(t_1 = 1\).
- Für \(n = 2\) gibt es 3 Möglichkeiten: entweder zwei rote Bausteine oder einen blauen, gelben oder grünen Baustein: \(t_2 = 4\) (2 rote und jeweils eine Sorte der anderen Farben mit Höhe 2).
- Für \(n = 3\) haben wir die Kombinationen von drei roten Bausteinen, einem roten und einem 2er Baustein in drei verschiedenen Farben (3 Möglichkeiten), oder einem orangenen Baustein: \(t_3 = 1 (rot, rot, rot) + 3 (rot und ein 2er Baustein in einer von drei Farben) + 1 (orange) = 5\).
Damit haben wir:
\(
t_0 = 1, \quad t_1 = 1, \quad t_2 = 4, \quad t_3 = 5
\)
b.) Geschlossene Formel für \(t_n\)
Die geschlossene Formel für eine Rekursionsrelation zu finden, erfordert in der Regel das Lösen charakteristischer Gleichungen oder das Nutzen von Erzeugenden Funktionen, was sehr komplex sein kann und spezifisches Wissen über diskrete Mathematik und lineare Algebra erfordert.
Eine allgemeine Vorgehensweise würde darin bestehen, die charakteristische Gleichung der Rekursion zu lösen:
\(
x^3 = x^2 + 3x + 1
\)
und dann die spezifischen Lösungen für die Gleichung zu finden, um eine Formel der Form \(t_n = A \cdot r_1^n + B \cdot r_2^n + C \cdot r_3^n\) zu bilden, wobei \(r_1, r_2,\) und \(r_3\) die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind und \(A, B,\) und \(C\) Konstanten, die mithilfe der Anfangsbedingungen ermittelt werden.
Ohne die spezifischen Lösungen dieser Gleichung und ohne weitere mathematische Werkzeuge wie MATLAB oder Mathematica (oder ähnliche), die uns dabei helfen könnten, ist es schwierig, eine exakte geschlossene Formel direkt hier anzugeben. In der Praxis wird oft ein computerbasierter Ansatz verwendet, um solche Probleme mit Erzeugenden Funktionen oder direkt durch die Berechnung spezifischer Lösungen anzugreifen.
