Matrixdarstellung und Abbildungsmatrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Es bezeichne Ε= (e^1, e^2, e^3) die kanonische Basis des R^3, F=(f^1, f^2) die kanonische Basis des R^2

Die Matrixdarstellung der linearen Abbildung L: R3 → R2 bzgl. der kanonischen
Basen sei gegeben durch

A_f^e=1 2 1

   2 1 1

a) (a) Im R3sei eine weitere Basis B = (b(1), b(2), b(3)) gegeben

b(1) = e(1) + e(2) + e(3)
,

b(2) = e(1) + e(2)
,
b(3) = e(1)

Bestimmen Sie Matrixdarstellung A_f^b der linearen Abbildung L

Problem/Ansatz:

… Ich kann nicht Abbildungsmatrix bestimmen um a) zu lösen.Ich würde mich über Erklärung des Lösungsweges freuen.

Answer 1

Aloha :)

Wir wissen, wie die Basisvektoren von \(B\) bezüglich der kanonischen Basis \(E\) aussehen. Damit kennen wir auch die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\):$$\mathbf{id}_E^B=\begin{pmatrix}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Die Abbildungsmatrix \(A_F^B\), die Vektoren bezüglich der Basis \(B\) als Eingangsvektoren erwartet und Vektoren bezüglich der Basis \(F\) als Ergebnisse liefert, lautet damit:$$A_F^B=A_F^E\cdot\mathbf{id}_E^B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}4 & 3 & 1\\4 & 3 & 2\end{array}\right)$$

Comments

b) Bzgl. einer Basis V = (v(1), v(2)) des R2 sei die Matrixdarstellung von L:

A_V^E =3/2 3/2 1

     -1/2 1/1 0

Bestimmen Sie Basis V

Ich habe dafür versucht, die Formel zu nutzen aber komme ich nicht zu Lösung v= 1  1

                                                                                                                                1 -1

Könntest du mir ausserdem erklären wie man Abbildungsmatrix bestimmen kann?

Vielen dank im voraus