Aloha :)
Die Summe für den Wurf von zwei 6-seitigen Würfeln können wir so darstellen:$$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\end{array}$$Das ergibt folgende Summenhäufigkeiten:$$\pink{\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}}$$
Jetzt nehmen wir den dritten Würfel hinzu:
Der dritte Würfel ist eine "1":$$\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}$$
Der dritte Würfel ist eine "2":$$\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}$$
Der dritte Würfel ist eine "3":$$\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}$$
Der dritte Würfel ist eine "4":$$\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}$$
Der dritte Würfel ist eine "5":$$\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}$$
Der dritte Würfel ist eine "6":$$\begin{array}{l|ccccccccccc}\text{Summe} & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18\\\hline\text{Häufigkeit} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{array}$$
Für den Wurf mit 3 Würfeln erhalten wir daraus folgende Summenhäufigkeiten:$$\pink{\begin{array}{r|r|r}\text{Wert} & \text{Häufigkeit} & =\\\hline 3 & 1 & 1\\4 & 2+1 & 3\\5 & 3+2+1 & 6\\6 & 4+3+2+1 & 10\\7 & 5+4+3+2+1 & 15\\8 & 6+5+4+3+2+1 & 21\\9 & 5+6+5+4+3+2 & 25\\10 & 4+5+6+5+4+3 & 27\\11 & 3+4+5+6+5+4 & 27\\12 & 2+3+4+5+6+5 & 25\\13 & 1+2+3+4+5+6 & 21\\14 & 1+2+3+4+5 & 15\\15 & 1+2+3+4 & 10\\16 & 1+2+3 & 6\\17 & 1+2 & 3\\18 & 1 & 1\end{array}}$$
Jetzt spielen wir und schauen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der 20er-Würfel gewinnt, das Spiel untentschieden ausgeht oder der 20er-Würfel verliert:$$\begin{array}{c}\text{20-er Würfel} & \text{Gewinn-W} & \text{Unentsch.-W} & \text{Verlust-W}\\\hline\\[-2ex]20 & \frac{216}{216} & \frac{0}{216} & \frac{0}{216}\\[1ex]19 & \frac{216}{216} & \frac{0}{216} & \frac{0}{216}\\[1ex]18 & \frac{215}{216} & \frac{1}{216} & \frac{0}{216}\\[1ex]17 & \frac{212}{216} & \frac{3}{216} & \frac{1}{216}\\[1ex]16 & \frac{206}{216} & \frac{6}{216} & \frac{4}{216}\\[1ex]15 & \frac{196}{216} & \frac{10}{216} & \frac{10}{216}\\[1ex]14 & \frac{181}{216} & \frac{15}{216} & \frac{20}{216}\\[1ex]13 & \frac{160}{216} & \frac{21}{216} & \frac{35}{216}\\[1ex]12 & \frac{135}{216} & \frac{25}{216} & \frac{56}{216}\\[1ex]11 & \frac{108}{216} & \frac{27}{216} & \frac{81}{216}\\[1ex]10 & \frac{81}{216} & \frac{27}{216} & \frac{108}{216}\\[1ex]9 & \frac{56}{216} & \frac{25}{216} & \frac{135}{216}\\[1ex]8 & \frac{35}{216} & \frac{21}{216} & \frac{160}{216}\\[1ex]7 & \frac{20}{216} & \frac{15}{216} & \frac{181}{216}\\[1ex]6 & \frac{10}{216} & \frac{10}{216} & \frac{196}{216}\\[1ex]5 & \frac{4}{216} & \frac{6}{216} & \frac{206}{216}\\[1ex]4 & \frac{1}{216} & \frac{3}{216} & \frac{4}{212}\\[1ex]3 & \frac{0}{216} & \frac{1}{216} & \frac{215}{216}\\[1ex]2 & \frac{0}{216} & \frac{0}{216} & \frac{216}{216}\\[1ex]1 & \frac{0}{216} & \frac{0}{216} & \frac{216}{216}\end{array}$$
Addieren wir die Spalten und dividieren die jeweiligen Ergebnisse durch \(20\), weil die Eintrittswahrscheinlichkeit jeder Zeile \(\frac{1}{20}\) ist, erhalten wir folgende Ergebnisse:$$p(\text{20er-Würfel gewinnt})=0,475$$$$p(\text{untentschieden})=0,05$$$$p(\text{20er-Würfel verliert})=0,475$$
Fairer kann ein Spiel nicht sein\(\quad\checkmark\)
