Integration m.H. der Substitutionsmethode

Question

Aufgabe:

Hii, ich soll folgendes mit Hilfe der Substitutionsmethode integrieren

\( \int\limits_{}^{} \) x^2/\( \sqrt{1-x^2} \) dx

Problem/Ansatz:

bis jetzte hab ich x=sin(z) substituiert, was zu \( \int\limits_{}^{} \) tan^2(z) dz führt

anschließend hab ich tan^2(z) mit a substituiert, damit tan und cos sich aufheben und man den Sinus resubstitueren kann, das Ergebnis: 1/2x^4 ist dabei sicherlich falsch. Ich finde meinen Fehler einfach nicht und wäre für jede Hilfestellung sehr dankbar.

Comments

Die Ableitung von tan(x) ist bekanntlich 1 + tan²(x). Daraus lässt sich dein letztes Integral leicht bestimmen.

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Ich verstehe nicht ganz was du meinst, tan^2 muss ich doch integrieren, nicht ableiten :/

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Soll heißen, dass ∫ (1 + tan²(x)) dx = tan(x) + C und demzufolge ∫ tan²(x) dx = tan(x) - x + C ist.

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Sorry, wenn ich mich dumm anstelle ):) aber dann kann ich doch tan(x) nicht mehr resubstituieren, mein Ergebnis wäre dann tan(z)-z, die Integrationsvariable war aber x.

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Kann es sein, dass das Resultat deiner Substitution falsch ist? Ich komme auf ∫ sin²(z) dz.

Answer 1

∫ x^2 / √(1 - x^2) dx

Subst. x = sin(z) und 1 dx = cos(z) dz

∫ (sin(z))^2 / √(1 - (sin(z))^2) * cos(z) dz

∫ (sin(z))^2 / √(cos(z)^2) * cos(z) dz

∫ (sin(z))^2 / cos(z) * cos(z) dz

∫ (sin(z))^2 dz

Dieses Integral hattest du bereits bestimmt schonmal gelöst oder?

Answer 2

Aloha :)

Deine Idee für die Substitution \(x=\sin(u)\) ist gut:

$$I=\int\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\frac{\sin^2(u)}{2\sqrt{1-\sin^2(u)}}\,\frac{d(\sin(u))}{du}\,du=\frac12\int\frac{\sin^2(u)}{\cos(u)}\cdot\cos(u)\,du$$$$\phantom{I}=\frac12\int\pink{\sin^2(u)}\,du=\frac12\int\left(\pink{\frac12-\frac12\cos(2u)}\right)\,du=\frac14\left(u-\frac12\sin(2u)\right)+\text{const}$$

Für die Rücksubstitution betrachte noch:$$u\;\mapsto\;\arcsin(x)$$$$\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)=2\sin u\cdot\sqrt{1-\sin^2(u)}\;\mapsto\;2x\cdot\sqrt{1-x^2}$$

Damit lautet das Integral:$$I=\frac14\left(\arcsin(x)-x\sqrt{1-x^2}\right)+\text{const}$$