Die Abbildung an x0 differenzierbar und das gilt...

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: X \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar an \( x_{0} \in X \), und es sei \( a \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann auch \( a f \) (d.h. die Abbildung \( x \mapsto a f(x) \) ) an \( x_{0} \) differenzierbar ist und, dass gilt
\( (a f)^{\prime}\left(x_{0}\right)=a f^{\prime}\left(x_{0}\right) \)

Problem/Ansatz:

Tue mir wirklich schwer mit der Aufgabe. Vielen Dank

Answer 1

$$(af)'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{(af)(x_0+h)-(af)(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a\cdot f(x_0+h)-a\cdot f(x_0)}{h}=\\=a \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a\cdot f'(x_0)$$