Sinusfunktion Verschiebung Verhältnis Cosinus

Question

Aufgabe:

Wieso ist sin(90-x) ALS AUCH sin (90+x) = cos(x)

Die Parameter Funktion lautet ja a*sin(b*x-c)+d

Sin(90+x) ist mir soweit klar, die Sinuskurve ist um - π/2 in x Achsenrichtung verschoben und ist demnach =cos (x).

sin(90-x) ist mir nicht klar. Laut Parameterfunktion sollte der Sinus jetzt um π/2 in x Achsenrichtung verschoben sein, aber das ist nunmal nicht =cos(x). Also ja die Funktion ist gleich cos(x). Aber sicher nicht durch eine Verschiebung von 90° nach Rechts.

Nun habe ich in manchen Seiten die Form a*sin(b(x-c) +d gefunden.

Da würde ich es mir zusammen basteln können.

sin (-1(90-x)).

Verschiebung um -90 in x achsenrichtung, Spiegelung an der x-Achse durch -x und erneute Spiegelung durch -1. = cos(x)

Aber wieso sollte es 2 verschiedene Arten geben von Parameterfunktionen, wenn beide vom Aufbau auch noch anders sind. sin(b*(x-c)) =/ sin(bx-c)

Answer 1

Merke. Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion werden im Bogenmaß berechnet

90 Grad ist also pi/2

Und es gilt

SIN(x + pi/2) = COS(x)

aber

SIN(x - pi/2) = - COS(x)

Das solltest du beachten.

Comments

Entschuldigung. Ich meinte, wieso ist              sin (-x+π/2) = cos(x). Durch -x haben wir eine Spiegelung an der x-Achse und durch + π/2 eine Verschiebung um -90 in x-Achsenrichtung.

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In meinem Heft steht:

sin(90+x)=cos(x)

sin(90-x)=cos(x)

Die erste Gleichung ist mir mehr als klar.

Wir haben eine Verschiebung um -π/2 in x-Achsenrichtung. Rein graphisch betrachtet mehr als klar, denn jetzt liegt die Sinuskurve direkt auf der Kosinuskurve.

Aber wieso ist denn auch sin(90-x) = cos(x).

sin(90-x) bedeutet ja nichts anderes als sin(-x+90)

-x= Spiegelung an der x-Achse

+90 = Verschiebung um -90 in x Achsenrichtung

Rein vom Wortlaut her, kann daher diese Kurve nicht auf der Kosinuskurve liegen, für mich.

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SIN(-x + pi/2)

= SIN(- (x - pi/2))

benutze SIN(-z) = - SIN(z)

= - SIN(x - pi/2)

benutze SIN(x - pi/2) = - COS(x) siehe oben.

= - (- COS(x))

= COS(x)

So verständlich?

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So ja. Aber mir geht es ja um die Beseutung der Parameterfunktion. sin(-x+90)

Ich habe das so kennengelernt das +90 in diesem Fall eine Verschiebung von -90 in x-Achsenrichtunf bedeutet. -x bedeutet eine Spiegelung an der x-Achse. Wenn ich diesen Wortlaut so anwende, dann ist für mich die Sinuskurve jetzt nicht auf der Kosinuskurve.

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Das ist der Graph von sin(-x)

Wenn ich ihn jetzt um -90 in x Achsenrichtung verschiebe ( sin(-x+90) → sollte ja nichts anderes sein als sin(90-x). Dann liegt er für mich nicht auf der Kosinuskurve

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hUm mein Problem noch genauer darzustellen: Im vorherigen Bild hatte wir die Kurve von sin(-x). Und in diesem Bild ist in Blau wieder sin(-x). Und in rot so wie ich mir sin(90-x) vorstelle. Rot ist eben um -90 in x-Achsenrichtung verschoben. Aber scheinbar kann ich den Wortlaut der Parameter Funktion hier nicht anwenden. Weil ja scheinbar cos(x) = sin(90-x) ist.

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Vielleicht hier etwas visueller. Die Sinusfunktion ist Achsensymmetrisch zu einer Geraden x = 90°

Daher ist

SIN(90° - x) = SIN(90° + x)

Du weißt vermutlich das für eine Achsensymmetrie zur y-Achse gilt

f(-x) = f(x)

Für eine Achsensymmetrie zur Geraden x = a gilt also

f(a - x) = f(a + x)

Skizze:

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sin(-x+90)

Ich habe das so kennengelernt das +90 in diesem Fall eine Verschiebung von -90 in x-Achsenrichtunf bedeutet

Das ist so verkehrt sin(-(x+90)) = sin(-x - 90) wäre eine Verschiebung von -90 in x-Achsenrichtung

Die Verschiebung steht in Klammern bei dem x.

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Also ist die Parameterfunktion von der ich nun eindeutig ablesen kann wie verschoben wird, a*sin(b*(x-c))+d und nicht a*sin(bx-c)+d?

Text erkannt:

Abb. 4.9: Funktion mit doppelter Periodenlänge
54
sinus, Kosinus und Tangens als Funktionen
Parameter der Sinus- und Kosinusfunktion
Für Funktionen der Form \( f(x)=a \cdot \sin (b \cdot x+c)+d \) bewirken die Parameter folgende Veränderungen der Sinuskurve:
a: Amplitude: Streckung oder Stauchung in \( y \)-Achsenrichtung mit Faktor \( |a| \). Für a \( <0 \) wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Man berechnet a aus dem Vergleich des größten und kleinsten Funktionswerts: \( \mathrm{a}=\frac{\mathrm{y}_{\max }-\mathrm{y}_{\min }}{2} \)
b: \( \quad \) Streckung oder Stauchung in \( \mathrm{x} \)-Achsenrichtung mit Faktor \( \left|\frac{1}{\mathrm{~b}}\right| \). Für \( b<0 \) wird der Graph zusätzlich an der \( x \)-Achse gespiegelt. Man berechnet \( b \) mit Hilfe der Periodenlänge \( p: b=\frac{2 \pi}{p} \).
c: Verschiebung um -c in x-Achsenrichtung.
\( \mathrm{d} \) : Verschiebung um \( +\mathrm{d} \) in \( \mathrm{y} \)-Achsenrichtung.
Gleiches gilt für die Kosinusfunktion.
Übung 4.8:
Geben Sie den Funktionsterm zu dem Graphen an, der durch die folgenden Veränderungen an der Sinus- bzw. Kosinusfunktion entsteht.
Beispiel: Verschiebung der Sinuskurve um \( -2 \) in y-Richtung
Lösung: \( f(x)=\sin (x)-2 \)
a) Verschiebung der Kosinuskurve um \( \pi \) in \( x \)-Richtung
b) Verschiebung der Sinuskurve um \( -2 \pi \) in \( x \)-Richtung
c) Streckung der Sinuskurve in y-Richtung mit dem Faktor 1,7
d) Stauchung der Kosinuskurve in x-Richtung mit dem Faktor 0,5
e) Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung mit dem Faktor \( \frac{3}{5} \)
f) Streckung der Kosinuskurve in \( \mathrm{x} \)-Richtung mit dem Faktor 4
g) Spiegelung der Sinuskurve an der x-Achse und Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2

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Laut dem Text wird ja um -c in x-Achsenrichtung verschoben bei einer Funktion der Form a*sin(bx-c).

sin(90-x)= sin(-x-90).

Laut der Darstellung im Heft, also um -c -->

-(-90) → 90 in X-Achsenrichtung

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Genau

a * sin(b * (x - c)) + d und nicht a * sin(bx - c) + d

Zumindest, wenn man zuerst streckt und staucht und dann verschiebt. Das sollte man aber immer machen.

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So notiert

sin(90-x) = sin(-x-90)

ist es falsch

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+90. Genau. Tippfehler.

Answer 2

Aloha :)

Die co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck vom Winkel \(\alpha\) zum co-mplementären Winkel \((\beta=90-\alpha)\) übergeht:$$\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$$$$\cos(\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)$$$$\tan(\alpha)=\cot(90^\circ-\alpha)$$$$\cot(\alpha)=\tan(90^\circ-\alpha)$$

Zusätzlich nehmen in einem \(360^\circ\)-Intervall die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus jeden Funktionswert -- mit Ausnahme der Extremwerte \((\pm1)\) -- genau 2-mal an. Diese wichtigen Symmetrien sollte man kennen, weil der Taschenrechner bei den Arcus-Funktionen immer nur eine Stelle im \(360^\circ\)-Intervall ausgibt und man die zweite Stelle dann "wissen" muss:$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)\quad;\quad\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$$

Damit ist klar:$$\sin(90^\circ+\alpha)=\sin(180^\circ-(90^\circ+\alpha))=\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$$