Löse folgende Gleichung in ℂ

Question

Aufgabe:

Löse folgende Gleichung in ℂ:

z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0

Problem/Ansatz:

Wie vereinfache bzw. faktorisiere ich die Gleichung, damit sie leichter lösbar ist?

Comments

Diese Frage wurde bereits hier beantwortet.

Answer 1

Partialsumme einer geometrischen Folge:

\( z^4 + z^3 + z^2 + z + 1=\frac{z^5-1}{z-1} \)

Das kann nur dann 0 werden, wenn z^5=1 gilt. Von den 5 möglichen Lösungen entfällt aber z=1 wegen des vorhandenen Nenners.

Answer 2

z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0

Wir fügen mal eine weitere Nullstelle hinzu

(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) * (z - 1) = 0 mit z ≠ 1

z^5 - 1 = 0 mit z ≠ 1

Was sind jetzt die Nullstellen von z^5 - 1 außer z = 1 ?

z^5 - 1 = 0

z^5 = 1
z^5 = e^(i·2·pi·k)
z = e^(i·2/5·pi·k)

Nun die Lösungen notieren

z1 = e^(i·2/5·pi·1)
z2 = e^(i·2/5·pi·2)
z3 = e^(i·2/5·pi·3)
z4 = e^(i·2/5·pi·4)