Faktorisieren Sie folgende Polynome so weit wie möglich: z^5 - i (∈ Pol C)

Question

a) z^2 + 4iz - 4 (∈ Pol C)

b) z^5 - i (∈ Pol C)

c) x^4 + 1 (∈ Pol R)

d) x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x + 4 (∈ Pol R)

Können Sie mir bitte mal erklären wie die Faktorisierung macht? Muss ich der Polynom vereinfachen bis es nicht mehr möglich ist?

Ich habe a) so gelöst: z^2 + 4iz - 4=(z-2i)^2=(z+2i)(z+2i) Ist das richtig?

Comments

z² + 4iz - 4=(z + 2i)²=(z+2i)(z+2i)

Ansonsten: Gehe vor wie bei der Nullstellensuche von reellen Polynomen.

1. Nullstellen bestimmen. ==> 2. Faktorisierung hinschreiben.

c) x⁴ + 1 (∈ Pol R)

Hat keine reellen Nullstellen. Wenn du es nur reell faktorisieren möchtest, bist du fertig.

Die komplexen Nullstellen findest du bei Bedarf via: x^4 = -1.

---

Genau, danke dir!

Kannst du mir bitte b) zeigen?

Answer 1

a) z^2 + 4·i·z - 4 = (z + 2·i)^2

b) z^5 - i = (z - e^{18i})(z - e^{90i})(z - e^{162i})(z - e^{234i})(z - e^{306i})

z^5 - i = (z - i)·(z + √(10 - 2·√5)/4 + i·(√5/4 + 1/4))·(z - √(10 - 2·√5)/4 + i·(√5/4 + 1/4))·(z + √(2·√5 + 10)/4 + i·(1/4 - √5/4))·(z - √(2·√5 + 10)/4 + i·(1/4 - √5/4))

c) x^4 + 1 In R ist das nicht weiter zu zerlegen weil es keine Nullstellen gibt

d) x^4 - 2·x^3 + x^2 - 4·x + 4 = (x - 1)·(x - 2)·(x^2 + x + 2)

Comments

Bei d) bleibt nicht (x^2+x+2) auserhalb der Lösungsmenge? Es darf nur R sein. Also richtige antwort ist (x-1)(x-2) ?

Kannst du mir bitte b) erklären? Wie bist du auf (z - e¹⁸ⁱ)(z - e⁹⁰ⁱ)(z - e¹⁶²ⁱ)(z - e²³⁴ⁱ)(z - e³⁰⁶ⁱ) gekommen?

---

Wie kommt man auf den Ausdruck " (z - e¹⁸ⁱ)(z - e⁹⁰ⁱ)(z - e¹⁶²ⁱ)(z - e²³⁴ⁱ)(z - e³⁰⁶ⁱ)" ? 

---

z^5 = i = e^{90i}

Daraus die 5. Wurzel

z = i^{1/5} = (e^{90i})^{1/5} = e^{18i}

Nun gibt es bei der 5. Wurzel aber 5 Lösungen. Alle unterscheiden sich um 360/5 = 72 Grad. Also addiere ich einfach vielfache von 72 auf den Winkel drauf.

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorize+x%5E4+-+2x%5E3+%2B+x%5E2+-+4x+%2B+4

(x²+x+2)  ist durchaus ein reeller Faktor des gegebenen Polynoms und gehört dort hin.

Mit komplexen Faktoren sieht das so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorize+x%5E4+-+2x%5E3+%2B+x%5E2+-+4x+%2B+4+in+C

Comments

Aber für (x^2+x+2) gibt es keine keine Nullstellen in R, muss er nicht raus? Hab ich das nicht richtig verstanden?

---

Das hast du falsch verstanden. Dein Polynom enthält diesen Faktor. Du musst ihn einfach nicht weiter faktorisieren, wenn die Klammern denn andeuten sollen, dass auch die Faktorisierung aus reellen Polynomen bestehen soll. Sonst sogar die Faktorisierung im 2. Link angeben.

---

Ich danke dir nochmals für die Erklärung!

Answer 3

Wie kommt man auf den Ausdruck " (z - e¹⁸ⁱ)(z - e⁹⁰ⁱ)(z - e¹⁶²ⁱ)(z - e²³⁴ⁱ)(z - e³⁰⁶ⁱ)" ?