Polynom faktorisieren so weit wie möglich

Question

Aufgabe:

Faktorisieren Sie das Polynom \( p \) so weit wie möglich, jeweils über \( \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) und \( \mathbb{C} \), wobei
\( p(z)=z^{6}+3 z^{4}+8 z^{2}-12 . \)
(Hinweis: Es ist \( p(\pm 1)=0 \).)

Answer 1

Wenn du die offensichtlichen, aber unnötigerweise durch den Hinweis schon gegebenen, Linearfaktoren herausdividiest, wird es einfacher.

Answer 2

Hallo,

z^2=w

w_1=1

0=w^3+3w^2+8w-12

=w^3-w^2 +4w^2-4w +12w-12

=(w-1)(w^2+4w+12)

w^2+4w+12=0

w_23 = -2±√(4-12)=-2±i•2√2

usw.

Die weitere Rechnung ist etwas mühselig. Daher frage ich Wolframalpha.

https://www.wolframalpha.com/input?i=0%3Dz%5E6%2B3+z%5E4%2B8+z%5E2-12+

Comments

Wie genau meinst du das?

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Hallo,

du brauchst doch z.B. in ℂ alle sechs Nullstellen des Polynoms. Da z nur mit geraden Exponenten vorkommt, bietet es sich an z²=w zu substituieren. Damit hast du eine Gleichung mit Grad 3. Das sieht schon einfacher aus als Grad 6.

Da du schon die Nullstellen z=±1 und damit w=(±1) =1 kennst, kannst du durch (w-1) dividieren, um eine quadratische Gleichung zu erhalten, die du lösen kannst.

Mit w=z² bestimmst du dann die Werte für z.

Dann kennst du die 6 komplexen Nullstellen und kannst das Polynom mit Linearfaktoren schreiben.