Der Hinweis sagt ja: Die Linearfaktoren z+1 und z-1 sind enthalten.
Also mache die entsprechende Polynomdivision und du hast
\( p(z)=z^{6}+3 z^{4}+8 z^{2}-12 = (z^{4}+4 z^{2}+12) \cdot (z-1) \cdot (z+1) \)
Damit ist die Faktorisierung über Q beendet.
Der erste Faktor kann mit der Substitution z^2 = x gemacht werden zu
x^2 + 4x + 12 und das hat die komplexen Nullstellen x1,2 = -2 ±2i√2
Jeweils die Wurzeln daraus ergeben
z1 = √( -1+√3) + i*√( 1+√3)
z2 = -√( -1+√3) - i*√( 1+√3)
z 3= √( -1+√3) - i*√( 1+√3)
z4 = -√( -1+√3) + i*√( 1+√3)
Damit ist die Faktorisierung über ℂ
p(z) = (z-1)(z+1)(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)
und (z-z1)(z-3) ergibt z^2 -2√( -1+√3)z+2√3
und (z-z2)(z-4) ergibt z^2 +2√( -1+√3)z+2√3
also hast du über R
p(z) = (z-1)(z+1)(z^2 -2√( -1+√3)z+2√3)(z^2 +2√( -1+√3)z+2√3)