Faktorisieren Sie das Polynom über Q,C und R

Question

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen:

Faktorisieren Sie das Polynom \( p \) so weit wie möglich, jeweils über \( \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) und \( \mathbb{C}, \) wobei
\( p(z)=z^{6}+3 z^{4}+8 z^{2}-12 \)
(Hinweis: Es ist \( p(\pm 1)=0 .) \)

Wenn möglich bitte sehr ausführlich und jeden schritt kurz erklären, danke!

Answer 1

Der Hinweis sagt ja: Die Linearfaktoren z+1 und z-1 sind enthalten.

Also mache die entsprechende Polynomdivision und du hast

\( p(z)=z^{6}+3 z^{4}+8 z^{2}-12 = (z^{4}+4 z^{2}+12) \cdot (z-1) \cdot (z+1) \)

Damit ist die Faktorisierung über Q beendet.

Der erste Faktor kann mit der Substitution z^2 = x gemacht werden zu

x^2 + 4x + 12 und das hat die komplexen Nullstellen  x_1,2 = -2 ±2i√2

Jeweils die Wurzeln daraus ergeben

z1 = √( -1+√3) + i*√( 1+√3)

z2 = -√( -1+√3) - i*√( 1+√3) 

z 3= √( -1+√3) - i*√( 1+√3)

z4 = -√( -1+√3) + i*√( 1+√3)

Damit ist die Faktorisierung über ℂ

p(z) = (z-1)(z+1)(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)

und (z-z1)(z-3) ergibt z^2 -2√( -1+√3)z+2√3

und (z-z2)(z-4) ergibt z^2 +2√( -1+√3)z+2√3

also hast du über R

p(z) =  (z-1)(z+1)(z^2 -2√( -1+√3)z+2√3)(z^2 +2√( -1+√3)z+2√3)