Wie stelle ich eine Gleichung mit ln(x), die aus einer zusammengesetzten Funktion hervorgeht, nach x um?

Question

Hallo, ich würde gerne wissen, wie eine Gleichung mit ln(x) nach x umgestellt wird, wenn die Gleichung x und ln(x) beinhaltet. Das ist häufig bei zusammengesetzten Funktionen der Fall. Mein Problem ist konkret, dass ich nicht nach x umstellen kann, da ich entweder zusätzlich zum x ein e^x oder ein ln(x) in der Gleichung habe. Um diesen Sachverhalt zu illustrieren, habe ich hier eine Aufgabe mit einer zusammengesetzten Funktion aufgeschrieben.

Aufgabenstellung:

Nach einem Brand in einer Chemiefabrik steigt die Konzentration von perfluorierten Tensiden (PFT) in einem nahe gelegenen See deutlich an. Durch den Zu- und Ablauf von Wasser verringert sich die PFT-Konzentration im See wieder. Die PFT-Konzentration im See kann in den ersten Wochen mithilfe der Funktion f(x)= 250x × e^-0,5x + 20 modelliert werden (x: Anzahl der Wochen nach dem Unfall; k: Konzentration in Nanogramm (ng) pro Liter).

Relevanter Aufgabenteil b:

b) Bestimmen Sie, wann die PFT-Konzentration erstmals nach dem Unfall unter 50 ng/l fällt

Hier ist mein Ansatz:

50 = 250x × e^-0,5x + 20.    | -20

30 = 250x × e^-0,5x              | :250

0,12 = x × e^-0,5x                  | ln(...)

ln(0,12) = ln (x × e^-0,5 )

ln(0,12) = ln(x) + ln(e^-0,5x)

ln(0,12) = ln (x) -0,5x × ln (e)

ln(0,12) = ln(x) -0,5x        | -ln(x)

ln(0,12) - ln(x) = -0,5x      | × (-2)

-2ln(0,12) - 2ln(x) = x

Das Logarithmieren hat bei dieser Gleichung nichts gebracht und exponieren mit e^... wäre auch nicht zielführend. Wenn ich die Funktion von dem GTR zeichnen lasse, erhalte ich für y=50 x=8,527002968 und x=0,1279263787. Im Kontext bedeutet das, dass nach 8 Wochen und ungefähr 4 Tagen die PFT-Konzentration erstmals unter 50ng/l fällt. Ich würde trotzdem gerne wissen, wie solche Gleichungen gelöst werden, denn ich möchte Aufgaben dieser Art auch ohne GTR lösen können, um die Lösung mit einer irrationalen Zahl anstelle eines Nährungswertes erhalten zu können. Ich stoße auf dieses Problem auch bei Aufgaben für die Berechnung von Extremstellen mit Funktionsgleichungen mit ln(x). Im Lehrbuch, im Forum und im Internet konnte ich keine Antworten finden. Ich habe großes Interesse an diesem ganzen Thema und würde mich freuen, wenn es einen Weg gibt, Gleichungen dieser Art nach x umzustellen und mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

b) Bestimmen Sie, wann die PFT-Konzentration erstmals nach dem Unfall unter 50 ng/l fällt

250·x·e^(- 0.5·x) + 20 = 50
250·x·e^(- 0.5·x) - 30 = 0 --> x = 8.527 Wochen

Dabei kann man diese Gleichung nur numerisch und nicht algebraisch lösen.

Also z.B. Wertetabelle, Newtonverfahren etc.

Skizze

~plot~ 250*x*e^(- 0.5·x)+20;50;[[0|10|0|210]] ~plot~

Comments

OK, danke für die Antwort. Das Newtonverfahren habe ich mir gerade angeschaut, sieht sehr interessant aus, das werde ich Mal ausprobieren. Das bedeutet demgemäß also, dass ich die Lösung nicht mit e oder ln angeben kann, sondern nur einen Näherungswert ermitteln kann? Wie sieht es mit dieser Aufgabe aus:

"Berechnen Sie die Extrem- und Wendestellen der Funktion f."

Aufgabenteil i):

f(x) = x × ln(2x+3)

Mein Ansatz: Ich habe hier schon Mal die ersten beiden Ableitungen für die Extremstellen notiert.

f'(x) = ln(2x+3) + \( \frac{2x}{2x+3} \)

f''(x) = \( \frac{4}{2x+3} \) - \( \frac{4x}{(2x+3)^{2}} \)

Für f'(x) = 0 komme ich in dieselbe Situation. Ist die Gleichung 0 = ln(2x+3) + \( \frac{2x}{2x+3} \) auch nur numerisch lösbar? Die Gleichung besitzt ganz sich eine Lösung bei x≈-0,57

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Gleichungen in denen x zugleich in einer e oder ln-Funktion als Summe vorliegt können algebraisch nicht gelöst werden.

In der Uni würde es dann lauten berechnen sie die Extrempunkte Näherungsweise, weil du sie nicht exakt angeben kannst. Normalerweise sollte das auch in der Schule gemacht werden. Aber es ist in der Schule nicht klar welche Hilfsmittel verwendet werden dürfen. Ein CAS Rechner gibt vielleicht hier selbständig die Lösungen gerundet aus.

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OK, das macht Sinn, danke

Answer 2

50 = 250x × e^-0,5x + 20.

Solche Gleichungen können nicht durch die in der Schule gelehrten Äquivalenzumformungen gelöst werden. Und den Grund dafür hast du auch schon gefunden, nämlich:

da ich entweder zusätzlich zum x ein e^x oder ein ln(x) in der Gleichung habe

Stattdessen verwendet man numerische Verfahren wie zum Beispiel das Newtonverfahren um eine Näherungslösung zu berechnen. So macht das auch der GTR.

Du könntest dich aber bei Interesse mal mit der Lambertschen W-Funktion beschäftigen.

Comments

Danke für die Antwort und die Vorschläge, mit der W-Funktion werde ich mich befassen.

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mit der W-Funktion werde ich mich befassen.

Meiner Meinung nach, kann man sich das schenken, soweit die W-Funktion nicht Gegenstand des Unterrichts ist.

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Ich bin jetzt in der Situation, wo ich das Thema nicht im Unterricht mache, sondern das Mathebuch aus Interesse durcharbeite, aus diesem Grund schaue ich mir die Thematik an. Das Newtonverfahren habe ich soweit verstanden und angewendet. Kann ich die W-Funktion nur bei x^x -Gleichungen anwenden? Wenn ich die W-Funktion auch bei der Gleichung 0 = ln(2x+3) + \( \frac{2x}{2x+3} \) verwenden kann, wie bringe ich alle x auf eine Seiten und lasse auf der anderen eine Zahl die nicht 0 ist? Gleichzeitig muss ja gelten z = W ( z ) e^W(z)

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50 = 250x × e^-0,5x + 20

\(\begin{aligned} 50 & =250x\mathrm{e}^{-0\text{,}5x}+20 &  & |-20\\ 30 & =250x\mathrm{e}^{-0\text{,}5x} &  & |:\left(-500\right)\\ -\frac{3}{50} & =-0,5x\mathrm{e}^{-0\text{,}5x} &  & |W\\ W\left(-\frac{3}{50}\right) & =-0,5x &  & |\cdot\left(-2\right)\\ x & =-2W\left(-\frac{3}{50}\right)\\ x_{1} & =-2W_{0}\left(-\frac{3}{50}\right)\approx0\text{,}1279\\ x_{2} & =-2W_{-1}\left(-\frac{3}{50}\right)\approx8\text{,}5270 \end{aligned}\)

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Wenn ich die W-Funktion auch bei der Gleichung 0 = ln(2x+3) + \( \frac{2x}{2x+3} \)

Ich wüsste nicht wie. Man kann die Gleichung umformen zu

      \(\frac{1}{2x+3}\mathrm{e}^{\frac{2x}{2x+3}}=1\)

aber da fehlen die \(2x\) im Zähler.

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Danke, das ist sehr hilfreich. Wie kann ich bei Wolfram Alpha die -2W_-1(-\( \frac{3}{50} \))eingeben, ich erhalte nur ein Ergebnis für -2W₀(-\( \frac{3}{50} \)).

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-2 * ProductLog(-1, -3/50)

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Perfekt, danke!