Eine Aufgabe zu Funktionsschar

Question

c) Unabhängig vom Sachzusammenhang ist eine Schar ganzrationaler Funktionen p-a mit
P-a(x)= ax²-6a²x² +1, x IR,a ≠ 0 gegeben.
Für bestimmte Werte von a hat der Graph von p-a mehr als einen Extrempunkt.
Bestimmen Sie für diesen Fall den Parameter a so, dass die Abstände aller
Extrempunkte der Graphen von P-a zur x-Achse gleich sind.
Untersuchen Sie die Anzahl und die Art der Extrempunkte der Graphen der
Funktionen p-a in Abhängigkeit der von dem Parameter a angenommenen Werte.

Anmerkung: p-a bedeutet, dass es ein kleines a unten ist. Also einfach eine Anmerkung, dass es es eine Konstante gibt.

- Ich verstehe in der Aufgabe nicht ganz klar, wie man vorgehen soll. Wäre gut, wenn mir das jemand zeigen könnte.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

f(x) = a·x^2 - 6·a^2·x^2 + 1 = (a - 6·a^2)·x^2 + 1

Diese Parabel hat höchstens einen Extrempunkt.

Ist womöglich der erste Exponent eine 3 statt einer 2?

Comments

Das ist sogar eine 4. Sehr gut erkannt! Wie sieht es denn beim vierten Grad aus?

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Du musst auch da zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung finden...

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Für bestimmte Werte von a hat der Graph von p-a mehr als einen Extrempunkt. Bestimmen Sie für diesen Fall den Parameter a so, dass die Abstände aller Extrempunkte der Graphen von P-a zur x-Achse gleich sind.

f(x) = a·x^4 - 6·a^2·x^2 + 1

f'(x) = 4·a·x^3 - 12·a^2·x = 4·a·x·(x^2 - 3·a) = 0

x = 0 oder x = ± √(3·a)

f(0) = 1

f(± √(3·a)) = 1 - 9·a^3 = -1 → a = ³√(1/9)

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Die haben die Extrempunkte ausgerechnet. Aber ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz. Verstehen sie die Aufgabe, und könnten sie mir diese Aufgabe erklären? Weil ich verstehe nicht, was genau gefragt ist. Nur Extrempunkte herausfinde, wirkt ein bisschen wenig für eine Textaufgabe.

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dass die Abstände aller Extrempunkte der Graphen von P-a zur x-Achse gleich sind.

Der eine Extrempunkt ist (0|1). Dieser Punkt hat von der x-Achse den Abstand 1.

Die anderen beiden Extrempunkte sind ( √(3·a) | f( √(3·a)) und (- √(3·a) | f( -√(3·a)).

Auch diese beiden Punkte müssen nun von der x-Achse den Abstand 1 haben.

Dazu muss die f(±√(3·a)) gleich 1 oder -1 sein. Der Fall y=1 funktioniert nicht, aber der Fall y=-1.