Wie begründen, dass die Funktion keine Extrema hat?

Question

Aufgabe:

f(x)=2ln(2x+4)

Wie kann ich bei dieser Aufgabe begründen, dass die Funktion kein extrema hat?

Comments

Vielleicht so: Es gelte \(-2<x<y\). Es folgt$$\begin{aligned}\Longrightarrow&&2x+4&<2y+4\\\Longrightarrow&&\ln(2x+4)&<\ln(2y+4)\\\Longrightarrow&&2\ln(2x+4)&<2\ln(2y+4)\\\Longrightarrow&&f(x)&<f(y).\end{aligned}$$D.h. die Funktion ist auf dem offenen Intervall \((-2,\infty)\) streng monoton steigend und es kann kein Extremum geben.

Answer 1

f(x) = 2·LN(2·x + 4)

Die Verkettung streng monoton steigender Funktionen ist wieder eine streng monoton steigende Funktion.

Comments

f(x) = 2·LN(2·x + 4) = 2·LN(2·(x + 2))

f(x) geht aus LN(x) hervor durch Streckung um den Faktor 2 in y-Richtung. Stauchung mit dem Faktor 1/2 in x-Richtung. Verschiebung des Graphen um 2 nach links.

Weder die Streck oder Stauchungen noch die Verschiebungen ändern etwas an der Monotonie der LN-Funktion. Es bleibt also eine streng monoton steigende Funktion mit einem unbeschränkten Wertebereich von minus Unendlich bis plus Unendlich.

Answer 2

Die hat kein Extremum, weil die Ableitung nie 0 ist.

Comments

Danke erst einmal, aber Wie meinen Sie das?

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Es ist f'(x)  = 2 / (2+x)

Das ist nie 0.

Du kannst auch elementarer begründen:

ln ist streng monoton steigend

ln(2x+4) = ln( 2(x+2) )

           = ln(2) + ln(x+2)

Also wird der ln-Graph nur zur Seite und nach oben verschoben.

Bleibt also ohne Extrema.

Der Faktor 2 davor bewirkt eine Streckung, das ändert auch nichts daran.

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Achso, stimmt, dann käme raus 0=2 oder? Wie kann ich das aufschreiben? Oder gibt's dazu eine allgemeine Regel, dass das immer so ist?

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2 / (2+x) wird nie 0, da der Zähler nicht 0 ist.

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Ist das immer bei ln Funktionen so?

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Bei x*ln(x) z.B. nicht.

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Wie könnte ich das mathematisch erklären, dass es kein extrema gibt?

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Hast doch 2 schöne Antworten bekommen.

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Wie könnte ich das mathematisch erklären, dass es kein extrema gibt?

Kannst du erklären warum eine streng Monoton steigende Funktion deren Wertemenge ]- ∞ ; ∞[ (nicht beschränkt) ist keine Extremwerte besitzt?

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Nein, tut mir leid :|

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Zeichne mal die Funktion LN(x) und begründe, warum sie kein Extrempunkt besitzt. Gehe dabei auch auf die Definition eines Extrempunktes ein. Also wann ist ein Punkt ein Extrempunkt.

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Was darfst du denn benutzen ?

Hattet ihr schon Ableitungen, also sowas wie f'(x) ?

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Ne, einfach aus der gegebenen funktion heraus