Für welches a kann man keine Linearkombination darstellen

Question

Aufgabe:

Für welches a kann der Vektor w =\( \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} \) nicht als Linearkombination der Vektoren v =\( \begin{pmatrix} 3\\-1 \end{pmatrix} \) und u =\( \begin{pmatrix} a\\1,5 \end{pmatrix} \)  dargestellt werden.

Problem/Ansatz:

LGS ( t*v1+s*u1 = w1; t*v2+s*u2=w2 aufstellen und dann für a etwas in Abhängigkeit von t oder s bekommen?

Answer 1

[3, -1] * (-1.5) = [-4.5, 1.5]

für a = - 4.5

Answer 2

Aloha :)

Wenn die beiden Vektoren \(\vec v=\binom{3}{-1}\) und \(\vec u=\binom{a}{1,5}\) parallel oder anti-parallel zueinander liegen, deckt ihre Linearkombination nicht die gesamte 2-dimensionale xy-Ebene ab, sondern liefert nur Punkte auf einer Geraden.

Wenn man die y-Koordinate von \(\vec v\) mit \((-1,5)\) multipiziert, erhält man die y-Koordinate von \(\vec u\). Dann ist \(a=(-1,5)\cdot3=-4,5\).

Für \(a=-4,5\) liegen die beiden Vektoren \(\vec v\) und \(\vec u\) anti-parallel zueinander.