Bestimmen Sie den Bereich der Abfahrt, in dem der Neigungswinkel von 45° überschritten wird.

Question

Aufgabe:

g(x): -(1/160000)•x^4+(1/2000)•x³+(1/20)•x²

Intervall [-40;0]

Fahrt einer Achterbahn (Start bei -40/32)

Bestimmen Sie den Bereich der Abfahrt, in dem der Neigungswinkel von 45° überschritten wird.

Problem:

Neigungswinkel haben ja was mit Tangenten zu tun und Normalgleichungen aber weiß nicht wie man das berechnen soll. Man muss ja nach x irgendwas auslösen um den Bereich der Abfahrt zu berechnen aber wie und was….

Comments

Die nächste Aufgabe wäre dann:

Im Punkt C geht die Abfahrt in den Looping-Kreis über; hier muss es aufgrund der hohen Geschwindigkeit des Wagens einen krümmungssprungfreien Übergang geben.
Die Krümmung k ist definiert als der Kehrwert des Radius des Kreises, der sich in dem Berührpunkt optimal an den Graphen der Funktion anschmiegt. Dieser Kreis wird Krümmungskreis genannt. Links-und Rechtskrümmungen werden durch das Vorzeichen unterschieden.
Die Formel für die Krümmung lautet:

\( \frac{g“(x)}{ \sqrt{1+(g‘(x))^2)^3}}\)

2) Der Krümmungskreis im Nullpunkt C ist also der für die Achterbahn gesuchte Looping. Weisen Sie nach, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt (0/10) und dem Radius 10 der Krümmungskreis der Funktion g im Punkt 0 ist.

Problem:

Hab auch hier keine Ahnung wie man vorangehen würde…

Muss man 10 für x einsetzten? Es kam etwa 0,036 , was muss ich jetzt machen? Eine/r zur Hilfe

Answer 1

Hallo,

\(f'(x_0)=tan(\alpha)\)\\

tan(-45°)=-1

Setze also die 1. Ableitung = -1 und löse nach x auf.

Die Lösungen bestimmen den Abfahrtsbereich, innerhalb dessen der Steigungswinkel über 45° liegt.

Comments

Danke für deine Antwort :) Aber habe da eine Frage, wie kamst du auf die -1…? Also die erste Ableitung gleich -1 setzen…

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Weil sich der Abfahrtsbereich im 2. Quadranten befindet und die Steigung der Winkelhalbierenden dort -1 entspricht.

Answer 2

f(x) = - 1/160000·x^4 + 1/2000·x^3 + 1/20·x^2

1) Bestimmen Sie den Bereich der Abfahrt, in dem der Neigungswinkel von 45° überschritten wird.

f'(x) = -1 --> x = -29.55217741 ∨ x = -13.17592838 ∨ x = 102.7281058

Im Intervall von ca. [-29.55 ; -13.18] wird der Neigungswinkel von 45 Grad überschritten.

2) Der Krümmungskreis im Nullpunkt C ist also der für die Achterbahn gesuchte Looping. Weisen Sie nach, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt (0/10) und dem Radius 10 der Krümmungskreis der Funktion g im Punkt 0 ist.

f'(0) = 0 → Waagerechte Tangente in C daher befindet sich der Kreismittelpunkt senkrecht über C.

Krümmung bzw. Krümmungsradius

k = f''(0)/√(1 + f'(0)^2)^3 = 0.1

r = 1/0.1 = 10

Damit beträgt der Radius 10 und der Kreismittelpunkt muss 10 Einheiten über C sein.

Skizze