Zeige, dass jede Teilmenge von Körper Q mit Q übereinstimmt

Question

Aufgabe:

Zeige, dass jede Teilmenge von Q, welche mit der Addition und Multiplikation einen Körper bildet, mit Q übereinstimmt

Problem/Ansatz:

Ich habe nicht ganz verstanden, wie ich es lösen sollte. Danke!

Answer 1

Sei M ⊆ Q ein Körper.

Sei q ∈ Q.

Begründe dass q ∈ M ist. Verwende dazu die Körperaxiome und die Definition von Q.

Answer 2

Sei \(M\) die in Rede stehende Menge.

Da M ein Körper ist, enthält er 0 und 1.

Da \((M,+)\) eine Gruppe ist, muss die von

1 erzeugte additive zyklische Untergruppe

\(\mathbb{Z}\) Teilmenge von \(M\) sein.

Nun nutze, dass zu jedem \(z\in\mathbb{Z}\)

mit \(z\neq 0\) das multiplikativ inverse in \(M\) liegt,

da \(M\) ein Körper ist ...