Du maust ja beweisen das gilt
$$ (n+1)! \le 4 \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+2} $$
Wegen der Induktions Annahme gilt $$ n! \le 4 \left( \frac{n}{2} \right)^{n+1} $$
Also gilt auch $$ (n+1)! = n! (n+1) \le 4 \left( \frac{n}{2} \right)^{n+1} (n+1) $$ und nun muss man zeigen dass
$$ 4 \left( \frac{n}{2} \right)^{n+1} (n+1) \le 4 \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+2} $$ gilt.
Hier kann man erstmal die \( 4 \) auf beiden Seiten kürzen, dann ist noch zu zeigen
$$ \left( \frac{n}{2} \right)^{n+1} (n+1) \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+2} = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1} \frac{n+1}{2} $$
Also muss man noch zeigen $$\left( \frac{n}{2} \right)^{n+1} \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1} \frac{1}{2} $$ oder
$$ 2 \le \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} $$ Aus den Beweisen für die Eulersche Zahl \( e \) weiss man, das die rechte Seite eine monoton fallende Folge ist die gegen \( e > 2 \) konvergiert.
Und deshalb ist die letzte Ungleichung richtig und der Induktionsschluss gezeigt.
