Aufgabe:
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Aufgabe 4.3.16. Sei \( f: A \rightarrow B \) eine Funktion, und seien \( A_{1}, A_{2} \subseteq A \) und \( B_{1}, B_{2} \subseteq B \). Zeigen Sie die Behauptungen:
1. \( f^{-1}\left(B_{1} \cap B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\right) \cap f^{-1}\left(B_{2}\right) \)
2. \( f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \subseteq f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \)
3. \( f^{-1}\left(B_{1} \backslash B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\right) \backslash f^{-1}\left(B_{2}\right) \)
4. \( f\left(A_{1} \backslash A_{2}\right) \supseteq f\left(A_{1}\right) \backslash f\left(A_{2}\right) \)
Finden Sie analog zu Beispiel 4.3.15 verbale Formulierungen der Aussagen.
Geben Sie außerdem Beispiele an, die belegen, dass in den Behauptungen 2 und 4 die Gleichheit verletzt ist.
Hinweis: Gehen Sie analog zu Beispiel 4.3.15 vor. Zur Widerlegung der Gleichheit in 2 und 4 genügt es, eine Menge \( A \) mit zwei Elementen und \( B \) mit einem Element heranzuziehen und \( f \) entsprechend zu definieren.
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4.3.15 Beispiel 4.3.15 (Bild und Urbild von Vereinigungen). Wir zeigen, dass das Urbild und das Bild mit der Vereinigung zweier Mengen verträglich ist, genauer: Das Urbild bzw. Bild der Vereinigungen zweier Mengen ist die Vereinigung der Urbilder bzw. Bilder.
Sei also \( f: A \rightarrow B \) eine Funktion, und seien \( A_{1}, A_{2} \subseteq A \) und \( B_{1}, B_{2} \subseteq \) B. Wir zeigen
4.3 Abbildungen
\( \begin{aligned} f^{-1}\left(B_{1} \cup B_{2}\right) &=f^{-1}\left(B_{1}\right) \cup f^{-1}\left(B_{2}\right), \\ f\left(A_{1} \cup A_{2}\right) &=f\left(A_{1}\right) \cup f\left(A_{2}\right) . \end{aligned} \)
Zunächst gilt nach Definition von Urbild und Vereinigung, dass
\( a \in f^{-1}\left(B_{1} \cup B_{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow f(a) \in B_{1} \cup B_{2} \)
\( \Leftrightarrow f(a) \in B_{1} \vee f(a) \in B_{2} \)
\( \Leftrightarrow a \in f^{-1}\left(B_{1}\right) \vee a \in f^{-1}\left(B_{2}\right) \Leftrightarrow a \in f^{-1}\left(B_{1}\right) \cup f^{-1}\left(B_{2}\right) \),
und somit gilt \( f^{-1}\left(B_{1} \cup B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\right) \cup f^{-1}\left(B_{2}\right) \).
Um die zweite Behauptung zu zeigen, verwenden wir die Definition von Bild und Vereinigung und sehen, dass
\( \begin{aligned} b & \in f\left(A_{1} \cup A_{2}\right) \\ & \Leftrightarrow \exists a \in A_{1} \cup A_{2}: f(a)=b \\ & \Leftrightarrow\left(\exists a \in A_{1}: f(a)=b\right) \vee\left(\exists a \in A_{2}: f(a)=b\right) \\ & \Leftrightarrow b \in f\left(A_{1}\right) \vee b \in f\left(A_{2}\right) \Leftrightarrow b \in f\left(A_{1}\right) \cup f\left(A_{2}\right), \end{aligned} \)
also \( f\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right) \cup f\left(A_{2}\right) \) gilt. Übrigens haben wir in der letzten Rechnung Theorem 3.2.22(iii) verwendet - ist Ihnen das aufgefallen?
Aufgabe 4.3.16. Sei \( f: A \rightarrow B \) eine Funktion, und seien \( A_{1}, A_{2} \subseteq A \)
Problem/Ansatz:
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Aufgabe 5.
\( a \in\left(f^{-1}\left(B_{1} \cap B_{2}\right)\right. \)
\( \Leftrightarrow f(a) \in B_{1} \cap B_{2} \)
\( \Leftrightarrow f(a) \in B_{1} \wedge f(a) \in B_{2} \)
\( \Leftrightarrow d \in f^{-1}\left(B_{1}\right) \wedge a \in f^{-1}\left(B_{2}\right) \Longleftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow a \in f^{-1}\left(B_{1}\right) \cap f^{-1}\left(B_{2}\right) \)
\( f^{-1}\left(B_{1} \cap B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\right) \cap f^{-1}\left(B_{2}\right) \)
Text erkannt:
\( \begin{aligned} & \text { Auffabe 5. } \\ & b \in f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \\ \Leftrightarrow & \exists a \in A_{1} \cap A_{2}: f(a)=b \\ \Leftrightarrow &\left(\exists a \in A_{1}: f(a)=b\right) \wedge\left(\exists a \in A_{2}: f(a)=b\right) \\ \Leftrightarrow & b \in f\left(A_{1}\right) \wedge b \in f\left(A_{2}\right) \Leftrightarrow b \in f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \\ & f\left(A_{1} \cap A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \end{aligned} \)
Vorsagen bitte!!!
Wahrscheinlich habe ich die Zweite falsch gemacht.
