Zeige: Falls a,b ∈ R Teiler von e in R sind, dann ist auch a*b ein Teiler von e in R

Question

Sei (R, +, *) ein kommutativer Ring mit Einselement e.

Zeige: Falls a,b ∈ R Teiler von e in R sind, dann ist auch a*b ein Teiler von e in R

Könnte mir da bitte jemand helfen. Ich steh mächtig aufm Schlauch :D

Ansatz würde mir schon reichen :D

Danke!

Answer 1

Falls a,b ∈ R Teiler von e in R sind,

==>   Es gibt x und y in R mit a*x = e   und b*y = e

Dann gilt  a*x = e    | *b

==>   a*x*b = eb = b | *y

==>  a*x*b *y   = b * y    = e

Wegen kommutativ und assoziativ also auch

    (a*b)*(x*y) = e

Also gibt es ein z ( nämlich z=xy) mit

        (a*b) * z = e

Also ab Teiler von e.  q.e.d.

Comments

Vielen Dank :)

Answer 2

Ein Teiler von \(e\) zu sein bedeutet, invertierbar zu sein.

Seien also \(a,b\) invertierbar, dann ist

\((ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e\),

also ist \(ab\) invertierbar und somit ein Teiler von \(e\).