Man bestimme die Teiler von 2 in R. (Tipp: Norm N( ) = a2+b2 fur = a+bi 2 R verwenden.)

Question

Aufgabe:

Im Ring R := Z[i] ist zu zeigen:

Man bestimme die Teiler von 2 in R. (Tipp: Norm N(α) = a²+b² für α = a+bi ∈ R verwenden.)

Problem/Ansatz:

Also ich kann schon einmal die Teileranzahl bestimmen:

In Z[i] hat 2 die Zerlegung 2=(1+i)(1-i).

Dann ist die Teileranzahl 4*(1+1)*(1+1) = 16. Die 4 gibt die Anzahl der Einheiten in Z[i] = {1,-1,i,-i} wieder.

So, wie bestimme ich nun alle 16Teiler mit dem Tipp? Da komme ich nun nicht weiter.

Comments

Ich komme auf 12 Stück. In der Gauß-Ebene kann man sie sehr schön geometrisch darstellen.

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Kannst du mir zeigen, wo bzw. wie du das gemacht hast? Komme hier gerade gar nicht weiter ;(

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Durch die Betrachtung der Beträge |z₁| und |z₂| der beiden Faktoren eines Produktes z₁·z₂  mit dem Wert z₁·z₂ = 2  kann man schließen, dass jeder dieser Beträge höchstens den Wert 2 annehmen kann. Dies schränkt die Menge der möglichen Teiler in der Gaußschen Ebene sehr ein: Sie müssen alle im Kreis |z| ≤ 2  um den Nullpunkt herum liegen. In dieser Kreisscheibe liegen nun nur insgesamt 13 Gitterpunkte (mit ganzzahligen Koordinaten). Außer der Zahl Null = 0 + 0 i  stehen sie (wie man leicht nachrechnen kann) sämtlich für Teiler der Zahl 2 im betrachteten Ring. Also erhalten wir insgesamt 12 mögliche Teiler.

Answer 1

Ich komme auf 12 Teiler.

(a+bi)(c+di)=2

ac-bd=2 ; ad+bc=0

1*2=2

(-1)*(-2)=2

i*(-2i)=2

(-i)*2i=2

(1+i)*(1-i)=2

(-1-i)*(-1+i)=2

:-)