Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_{B, C}(f)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) definiert durch

$$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+2 x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-2 x_{2} \\ x_{1}+x_{3} \\ 3 x_{1}-4 x_{2} \end{array}\right) $$
und die Vektoren
$$ v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) v_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), w_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), w_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), w_{4}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) $$
Weiter seien \( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) und \( C=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right) \) Basen von \( \mathbb{R}^{3} \) bzw. \( \mathbb{R}^{4} \). Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix \( M_{B, C}(f) \)

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.

Comments

Nimm mal die Vektoren \( v_1, v_2, v_3 \) und setze sie in \( f \) ein.

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Dann bekommen wir

\( \begin{pmatrix} 2\\1\\2\\3 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 2\\-2\\0\\4 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\3 \end{pmatrix} \)

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Das sieht gut aus.

Jetzt 2 Möglichkeiten.

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Entweder löst du jetzt die LGS

$$ f(v_i) = \lambda_{1,i} w_1 + \lambda_{2,i} w_2 + \lambda_{3,i} w_3 + \lambda_{4,i} w_4 $$

und schreibst \( \lambda_{1,i}, \lambda_{2,i}, \lambda_{3,i}, \lambda_{4,i} \) in die i-te Spalte der Darstelungsmatrix.

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Oder mit der Standardbasis \( \mathcal S = (e_1,...,e_4) \) gilt jetzt

$$ M_{B,\mathcal S}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\ 1&-2&1\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Da eben z.B. \( f(v_1) = 2e_1 + 1e_1+2e_3+3e_4 \) (Ergibt Einträge 1. Spalte)

Mit Transformationssatz

$$ M_{B,C}(f) = T_{\mathcal S, C} \cdot M_{B,\mathcal S}(f) =\left( T_{C, \mathcal S}\right)^{-1} \cdot M_{B,\mathcal S}(f) $$

wobei

$$ T_{C, \mathcal S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0&1&0&0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0&1&0&2\end{pmatrix} $$

Da z.B. \( \operatorname{id}_{\mathbb R^4}(w_2) = w_2 = 0e_1 + 1e_2 + 0e_3 + 1e_4 \) (ergibt Einträge 2. Spalte)

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Das heißt ich muss jetzt die Inverse Matrix von T_S,C mit M_B,S (f) multiplizieren? Und wie bekomme ich dann daraus noch M_B,C (f) ?

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Das heißt ich muss jetzt die Inverse Matrix von TS,C mit MB,S (f) multiplizieren?

Du musst nicht, ich habe dir 2 Wege genannt. Aber ja, das ist eine Möglichkeit.

Und wie bekomme ich dann daraus noch MB,C (f) ?

Ich verstehe zwar den Inhalt dieser Frage, aber nicht warum du sie stellst?

\( M_{B,C}(f) =\left( T_{C, \mathcal S}\right)^{-1} \cdot M_{B,\mathcal S}(f) \)

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Achso, ja falsch geschaut. Danke dir

Answer 1

M_B,C(f) = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)

Comments

Danke, aber der Weg zur Lösung würde mich schon interessieren.

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f(\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)) = \(\begin{pmatrix} 2\\1\\2\\3 \end{pmatrix} \) = 2 * \(\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) + 1 * \(\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \) + 0* \(\begin{pmatrix} 2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + 1* \(\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\2 \end{pmatrix} \)

⇒ a₁₁ = 2, a₁₂ = 1, a₁₃ = 0, a₁₄ = 1

f(\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)) = \(\begin{pmatrix} 2\\-2\\0\\4 \end{pmatrix} \) = 0 * \(\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) + (-2) * \(\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \) + 1* \(\begin{pmatrix} 2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + (-1)* \(\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\2 \end{pmatrix} \)

 ⇒ a₂₁ = 0, a₂₂ = -2, a₂₃ = 1, a₂₄ = -1

f(\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)) = \(\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\3 \end{pmatrix} \) = 1 * \(\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) + 1 * \(\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \) + 0* \(\begin{pmatrix} 2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + 1* \(\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\2 \end{pmatrix} \)

⇒ a₃₁ = 1, a₃₂ = 1, a₃₃ = 0, a₃₄ = 1

M_B,C(f) = \( \begin{pmatrix} a₁₁ & a₂₁ & a₃₁ \\  a₁₂ & a₂₂ & a₃₂ \\ a₁₃ & a₂₃ & a₃₃ \\ a₁₄ & a₂₄ & a₃₄ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)

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ich hätte nochmal eine Frage. Müsste es bei f(\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)) nicht 0,-2, 1 und 3 als Koeffizienten sein?

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Die Koeffizienten stimmen.

f(\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)) = \(\begin{pmatrix} 2\\-2\\0\\-4 \end{pmatrix} \)

Nur beim Bild von \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) unter f muss -4 statt +4 in die vierte Komponente hinkommen.

Hatte die von dir kopiert und nicht nochmal drübergesehen.

So wäre es korrekt:

f(\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)) = \(\begin{pmatrix} 2\\-2\\0\\-4 \end{pmatrix} \) = 0 * \(\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) + (-2) * \(\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \) + 1* \(\begin{pmatrix} 2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + (-1)* \(\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\2 \end{pmatrix} \)

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Okay, Vielen Dank