Frage: Ist die Relation ~ eine Äquivalenzrelation?

Question

Aufgabe:

Hey, liebe Leute. Ich habe eine Frage zu einer Relation ~.

Folgendes: Gegeben sei eine Relation ~ aus den natürlichen Zahlen N mit x~y <=> x und y ungerade

Frage: Ist die Relation ~ eine Äquivalenzrelation?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Begründung nicht so recht, warum ~ keine äquivalente Relation sein soll.

Es soll wohl so sein, dass das Kriterium der Reflexivität hier nicht erfüllt wäre. Bspsw. ist 2 ja in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten und gerade. Die 2 ist also nicht äquivalent zu sich selbst. Das die 2 eine gerade natürliche Zahl ist, ist mir selbstverständlich bewusst:

ABER: Mein Problem ist, dass es meines Erachtens keine Rolle spielt. Warum? Eine Relation ist ja eine Teilmenge des Kartesischen Produktes einer Menge. Und aus der Menge NxN suche ich mir doch dann die Elemente(x,y) heraus für welche gilt: x,y ungerade. So. Wenn ich mir also diese Elemente herauspicke, habe ich eine Relation. Und diese Relation müsste ich ja (u.a.) auf Reflexivität prüfen. In dieser Relation sind doch dann gar keine geraden Zahlen wie die 2 enthalten. Also kann es doch auch kein Element geben, was die reflexive Bedingung nicht erfüllt. Versteht ihr, was ich meine? Warum ist dennoch die Rekation ~ nicht reflexiv?

Answer 1

Wenn \(\sim\) reflexiv sein soll auf der Menge \(M\),

dann muss \(x\sim x\) für ALLE \(x\in M\) gelten.

In unserem speziellen Fall also \(n \sim n\) für alle

natürlichen Zahlen; denn hier ist \(M=\mathbb{N}\).

Comments

Danke erstmal für die Antwort. Jedoch habe ich es immernoch nicht verstanden. Ich will mal mein Missverständnis an einem Beispiel formulieren:

Gegeben sei eine Menge M mit M={1;2;3;4}.

Das Kartesische Produkt lautet demzufolge

MxM= {(1,1);(1,2);(1,3);..........;(4,4)}

So. R sei eine Relation für die gilt: x und y müssen ungerade sein. Und R ist eine Teilmenge von MxM.

Also lässt sich R folgendermaßen darstellen:

R={(1,1);(1,3);(3,1);(3,3)} Das sind alle Elemente aus MxM für die x und y (x,y) ungerade sind. So. Also alle Elemente in R bestehen aus 2-er Tupeln, von denen x und y ungerade sind. Und jetzt prüfe ich dieses R auf Reflexivität. Und in R befinden sich nur noch ungerade Paare. Es gibt da keine 2 oder 4 mehr drin. Demnach muss doch R reflexiv sein. Es wurde zwar schon gesagt, dass alle Elemente x∈M zu sich selbst äquivalent sein müssen, aber das hat doch dann mit R nichts mehr zu tun. R ist ja bloß die Teilmenge von MxM, welche gar keine geraden Zahlen bzw. Zahlenpaare enthält. Verstehst du, was ich meine?....

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jetzt prüfe ich dieses R auf Reflexivität

Dieses \(R\) ist nicht reflexiv auf \(M\). Du willst aber doch

untersuchen, ob die Relation eine Äquivalenzrelation

auf \(M\) ist und nicht ob sie eine auf \(\{1,3\}\) ist.