Könnte mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke!
(a) Sei \( U_{n} \) eine U-Statistik mit Kernfunktion \( h \) der Ordnung \( r \leq n \) mit \( \mathbb{E}\left[\left|h\left(X_{1}, \ldots, X_{r}\right)\right|\right]<\infty \). Man zeige, dass \(U_{n}=\mathbb{E}\left[h\left(X_{1}, \ldots, X_{r}\right) \mid X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}\right],\)
wobei \( X_{(1)} \leq \ldots \leq X_{(n)} \) die Orderstatistik von \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) bezeichnet.
(b) Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) i.i.d. nach \( F \) verteilt und \( S=S\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \) ein quadratintegrierbarer, erwartungstreuer Schätzer für den reellen Parameter \( \gamma(F) \). Man zeige, dass für die U-Statistik \( U_{n} \) der Ordnung \( n \) mit \( \operatorname{Kern} h\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{1}{n !} \sum \limits_{\pi \in \operatorname{Sym}_{n}} S\left(x_{\pi_{1}}, \ldots, x_{\pi_{n}}\right) \) gilt:
\( \operatorname{Var}\left(U_{n}\right) \leq \operatorname{Var}(S) \quad \) mit Gleichheit genau dann, wenn \( \quad \mathbb{P}\left(U_{n}=S\right)=1 \).
