Gleichungen mit Vektoren lösen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren

\( v_{1}=\left(\begin{array}{r} 7 \\ 12 \\ -2 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{r} -5 \\ 18 \\ 7 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right) . \)

b) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen:

\( x+4 \cdot v_{3}=7 \cdot v_{2}, \quad 2 \cdot v_{2}+5 \cdot x=v_{1}, \quad v_{1}+x \cdot v_{3}=v_{2} . \)

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bei der b.) helfen. Muss ich zuerst nach x auflösen und danach ausrechen? Ich bin etwas verwirrt und vielen Dank im Voraus =)

Answer 1

\( x+4 \cdot v_{3}=7 \cdot v_{2}\)

Dann ist

        \(x = 7 \cdot v_{2} - 4 \cdot v_{3}\)

wie du das auch von reellen Zahlen kennst.

\(2 \cdot v_{2}+5 \cdot x=v_{1}\)

Zusätzliche Schwierigkeit ist, das man Vektoren nicht durch Zahlen teilen kann. Multipliziere stattdessen mit dem Kehrwert.

\(v_{1}+x \cdot v_{3}=v_{2}\)

In Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen umwandeln.

Muss ich zuerst nach x auflösen und danach ausrechen?

Nein. Du darfst auch zuerst ausrechnen, dann nach \(x\) auflösen und dann weiter ausrechnen.

Answer 2

\( \quad v_{1}+x \cdot v_{3}=v_{2}  \)

\( \quad \left(\begin{array}{r} 7 \\ 12 \\ -2 \end{array}\right)+x \cdot \left(\begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -5 \\ 18 \\ 7 \end{array}\right) \) | -v₁

\( x \cdot \left(\begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -12 \\ 6 \\ 9 \end{array}\right) \)

==>  x=3