Zeigen Sie, dass f entweder injektiv oder der Nullhomomorphismus

Question

Aufgabe

Seien $K_{1}$ und $K_{2}$ Körper und sei $f: K_{1} \rightarrow K_{2}$ ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie, dass $f$ entweder injektiv oder der Nullhomomorphismus $\left(f(a)=0_{K_{2}}\right.$ für alle $\left.a \in K_{1}\right)$ ist.

Problem/Ansatz:

Mir ist bekannt, dass f(a) = f(a*1) = f(a) * f(1) und

f(1) = f(1*1) = f(1) * f(1). Könnte jemand mir weiterhelfen? Danke!

Answer 1

Angenommen f ist so ein Homomorphismus und nicht der 0-Hom.

Dann gibt es ein a∈$K_{1}$ mit f(a)≠0, also (wie du zeigtest)

f(1)*f(a)≠0 , also auch f(1)≠0.

Seien nun x,y ∈$K_{1}$ mit f(x)=f(y) also f(x)-f(y)=0

                  Wegen Hom also f(x-y) = 0

Dann gilt   x-y = 0  also x=y , also f injektiv.

Denn x-y≠0 kann nicht 0 sein, denn dann hätte [ weil $K_{1}$ Körper]

das Element x-y ein Inverses (x-y)^(-1) und es wäre

(x-y)*(x-y)^(-1) = 1

==>  f( (x-y)*(x-y)^(-1) )  = f(1)  wegen Hom also

     f (x-y) * f ((x-y)^(-1) )  = f(1) )≠0  (s.o.)

im Widerspruch zu (s.o.)  f(x-y) = 0.         q.e.d.