Angenommen f ist so ein Homomorphismus und nicht der 0-Hom.
Dann gibt es ein a∈\( K_{1} \) mit f(a)≠0, also (wie du zeigtest)
f(1)*f(a)≠0 , also auch f(1)≠0.
Seien nun x,y ∈\( K_{1} \) mit f(x)=f(y) also f(x)-f(y)=0
Wegen Hom also f(x-y) = 0
Dann gilt x-y = 0 also x=y , also f injektiv.
Denn x-y≠0 kann nicht 0 sein, denn dann hätte [ weil \( K_{1} \) Körper]
das Element x-y ein Inverses (x-y)^(-1) und es wäre
(x-y)*(x-y)^(-1) = 1
==> f( (x-y)*(x-y)^(-1) ) = f(1) wegen Hom also
f (x-y) * f ((x-y)^(-1) ) = f(1) )≠0 (s.o.)
im Widerspruch zu (s.o.) f(x-y) = 0. q.e.d.