Wie viele Schnittpunkte gibt es bei n Kreisen?

Question

Aufgabe:

Wie viele Schnittpunkte gibt es maximal bei 10 Kreisen?

- 100 Kreisen
- n   Kreisen

Problem/Ansatz:

Bei 4 Kreisen gibt es 12 Schnittpunkte. Eine Zahlenfolge ist bei 0 - 2 - 6 - 12 nicht zu erkennen.

Comments

Eine Zahlenfolge ist bei 0 - 2 - 6 - 12 nicht zu erkennen.

Du meinst wahrscheinlich nicht die Zahlenfolge, sondern deren Bildungsgesetz.

Answer 1

Hallo,

Eine Zahlenfolge ist bei 0 - 2 - 6 - 12 nicht zu erkennen.

Na ja - schon! mit jedem neuen Kreis kommen (maximal) 2 mal so viele Schnittpunkte hinzu, wie schon Kreise da sind. Ist \(a_n\) die Anzahl der Schnittpunkte bei \(n\) Kreisen, so ist$$a_1=0, \quad a_2=2, \quad a_3=6, \dots \\ a_{n+1} = a_n + 2n \\ a_n=n(n-1)$$Arithmetische Folge zweiter Ordnung.

Gruß Werner

Comments

Eine Zahlenfolge ist bei 0 - 2 - 6 - 12 nicht zu erkennen.

... aber doch wohl die Gesetzmäßigkeit

+2 ... +4 ...+6...

Answer 2

Für die, die das Bildungsgesetz nicht erkennen, gibt es die OEIS, und dort findet man die Antwort unter https://oeis.org/A002378

Answer 3

Jeder der n Kreise hat mit allen anderen (n-1) Kreisen im günstigsten Fall je 2 Schnittpunkte. Das gibt (vorerst) n*(n-1)*2 Schnittpunkte. Was an dieser Zählweise falsch ist: Die Schnittpunkte eines beliebigen Kreises A mit einem Kreis B werden ebenso gezählt wie die Schnittpunkte des Kreises B mit dem Kreis A.

Die oben vorgestellte Zählweise zählt also jeden Schnittpunkt doppelt, deswegen muss n*(n-1)*2 noch durch 2 geteilt werden.