Maximale Anzahl an Schnittpunkten von k Kreisen mit unterschiedlichem Radius

Question

Liebe Lounge,

gegeben seien k Kreise mit unterschiedlichen Durchmessern.

Es soll eine Summenformel angegeben werden für die Anzahl der maximalen Schnittpunkte der k Kreise.

Meine Idee:

k=2 : 2

k=3: 2+4

k=4: 2+4+6

k=5: 2+4+6+8

k=6: 2+4+6+8+10 ...

Die maximale Anzahl an Schnittpunkten sei A, dann müsste gelten:

A= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2(n-1)} \)

Passt das so ? Und könnt ihr mir die Summe als Produkt umformen, so dass man direkt ablesen kann, wie viele Schnittpunkte k Kreise maximal haben ohne die Summe ausrechnen zu müssen?

Comments

Die Grenzen stimmen nicht und k sollte auch irgendwo vorkommen.

Answer 1

Hallo,

die Summe läuft bis \( k - 1 \):

\( A = 2 \sum_{n=1}^{k-1} n \).

Für diese Formel gibt es die geschlossene Form

\( A = k (k-1) \),

weil

\( \sum_{n=1}^{k-1} n = \frac{k(k-1)}{2} \)

ist.

Grüße

Mister

Answer 2

n = 1 ; a1 = 0
n = 2 ; a2 = 0 + 2 = 2
n = 3 ; a3 = 0 + 2 + 4 = 6
n = 4 ; a4 = 0 + 2 + 4 + 6 = 12

an = ∑ (k = 1 bis n) (2·(k - 1))
an = ∑ (k = 1 bis n) (2·k - 2)
an = ∑ (k = 1 bis n) (2·k) - ∑ (k = 1 bis n) (2)
an = 2·∑ (k = 1 bis n) (k) - 2·n
an = 2·1/2·n·(n + 1) - 2·n
an = n·(n + 1) - 2·n
an = n^2 + n - 2·n
an = n^2 - n

Comments

Okay, danke.

Ich versuche mal, die Aussage zu beweisen.

z.Z.:  \( \sum\limits_{n=1}^{k}{2(n-1)} \) = k(k-1)

Induktionsanfang: Ich überprüfe, ob die Aussage für k=1 stimmt.

\( \sum\limits_{n=1}^{1}{2(n-1)} \)=0=1(1-1), für k=1 gilt die Aussage also.

Induktionsbehauptung: Wenn die Aussage für ein k erfüllt ist, stimmt sie auch für k+1.

z.Z.: \( \sum\limits_{n=1}^{k+1}{2(n-1)} \)= k(k+1)

\( \sum\limits_{n=1}^{k+1}{2(n-1)} \)= \( \sum\limits_{n=1}^{k}{2(n-1)} \)+2k = k(k-1)+2k=k(k+1)

Unter der Voraussetzung, dass die Behauptung für n=k gilt, gilt sie auch für n=k+1. Da ich gezeigt habe, dass sie für k=1 erfüllt ist, gilt sie auch für k>1.

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Ich habe die explizite Form doch aus der Summe hergeleitet. Ok. Unter zuhilfenahme des kleinen Gauss. Aber der ist doch in der Regel bereits bewiesen worden.

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Ist mein Weg falsch?

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Nein. Das passt so.

Answer 3

Hier wurde viel darüber geschrieben, wie diese Summe umgeformt werden kann, doch das soll doch schon der kleine Gauß gekonnt haben. Er soll sie sich von vorne nach hinten und von hinten nach vorne aufgeschrieben gedacht haben, so dass das Ergebnis sozusagen schon ins Auge springt.

Die spannende Frage ist doch, ob es tatsächlich immer möglich ist, wenn ich n Kreise habe, noch einen n+1 Kreis dazu zu zeichnen so dass diese n Kreise jeweils 2*n mal geschnitten werden.

Dazu wurde mir noch zu wenig geschrieben, das gilt es für mich zu beweisen, denn es wird doch schnell unübersichtlich.

Ja, für 2, 3, 4 Kreise ist es möglich, für 5,6,7 Kreise ist es auch möglich doch für n, das können sehr viele Kreise sein.

Wir benötigen also einen Beweis. für n Kreise.

Comments

Puh. Und jetzt?

Wie willst du das beweisen?

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Nur eine Idee,

Wir vermeiden Unordnung, d.h die Mittelpunkte, liegen alle auf einer Geraden.

R(0) =1, M(0) liegt bei 0

0= M(0)<M(1)<M(i)<M(i+1)<1

1= R(0)<R(1)<R(i)<R(i+1)

wie gesagt, nur eine Idee,

R(i+1) - R(i)< M(i+1) - M(i)

Irgendwie denke ich an eine geometrische Reihe

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{k^{-n}} \) =\( \frac{k-1}{k} \)

Bin noch nicht fertig, doch in die Richtung sollte es gehen.

Wie gesagt, das scheint mir die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe zu sein.

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R(i+1) - R(i) = (M(i+1) - M(i))/2

Sollte ausreichen, damit alle Schnittpunkte nur auf zwei Kreisen liegen und sich jeder Kreis mit jedem der anderen Kreise zweimal schneidet.