Zeige, dass auf M eine Äquivalenzrelation ∼ f bestimmt wird,

Question

Gegeben sei eine Abbildung f : M → N.
(a) Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf N. Zeige, dass auf M eine Äquivalenzrelation ∼ f bestimmt wird,
wenn wir x ∼ f x′ genau für f (x) ∼ f (x′) setzen. Wie sieht ∼ f aus, falls ∼ die Gleichheits- bzw.
die Allrelation ist? Welche notwendigen und hinreichenden Eigenschaften müssen f und ∼ erfüllen,
damit ∼ f die Gleichheits- bzw. die Allrelation ist?

Könnte mir jemand erklären wie man hier genau vorgeht bzw. wie die Aufgabe funktioniert?

Answer 1

1. Reflexiv:

für alle \(x\in M\) gilt \(f(x)=f(x)\),

also wegen der Reflexivität von \(\sim\):

\(f(x)\sim f(x)\), d.h. \(x\sim_f x\).

Nun du mit der Symmetrie ...

Comments

∀x,x′∈M:f(x)=f(x′)⇒f(x′)=f(x)

f(x)∼f(x′)⇒f(x′)∼f(x), d.h x∼fx′⇒x′∼fx′

∀x,x′,z∈M:f(x)=f(x′)∧f(x′)=f(z) ⇒f(x)=f(z)

f(x)∼f(x′)∧f(x′)∼f(z)⇒f(x)∼f(z)

d.h x∼fx′∧x′∼fz⇒x∼fz