Zeigen Sie durch Angabe eines konkreten Beispiels, dass im Allgemeinen

Question

Aufgabe:

Seien \( A, B \) und \( C \) Mengen.
1. Zeigen Sie durch Angabe eines konkreten Beispiels, dass im Allgemeinen
\( A \cap(B \cup C) \neq(A \cap B) \cup C \)
gilt.
2. Zeigen Sie: Es gilt \( A \cup B=A \cap B \) genau dann, wenn \( A=B \) ist.

Answer 1

A={1;2}   B={3;2}  C={4}

\(A \cap(B \cup C)  \)  =  {1;2}  ∩ {4; 3;2} = {2}

\((A \cap B) \cup C \) =  {2} ∪{4} = {2;4}

Answer 2

Zu 2.:

Da \(\Leftarrow)\) trivial ist, hier nur

\(\Rightarrow)\):

Sei \(x\in A\). Dann hat man

\(x\in A\subseteq A\cup B=A\cap B\Rightarrow x\in B\), also \(A\subseteq B\).

Wegen der Symmetrie in \(A\) und \(B\) gilt ebenso \(B\subseteq A\),

also insgesamt \(A=B\).