Dreiecksungleichung beweisen, komplexen Zahlen

Question

es geht um komplexe zahlen. Erstmal die Definitionen

lambda = (a,b) = a + bi

_lambda := a - bi

lambda * _lambda = (a+bi) (a-bi) = a^2 + b^2

Absolutbetrag |lambda| := sqrt(lambda * _lambda) = sqrt (a^2 + b^2)

Jetzt zu der Aufgabe. lambda und u sind elemente der komplexen Zahlen. Es geht |lambda + u | ≤ |lambda| + |u|. Wie zeige ich diese Dreickecksungleichung bei komplexen Zahlen?

Nach Definitionen wurde ich schreiben |lambda| + |u| = sqrt(lambda * _lambda) + sqrt(u * _u) = sqrt(a^2 + b^2) + sqrt(c^2 + d^2).

Ich habe es analog für |lambda + u| versucht und bekomme am Ende sqrt( (a+c)^2 + (b+d)^2) raus. Weiss nicht ob das stimmt, wenn ja wie zeige ich jetzt die Dreiecksungleichung?

Comments

ich habe umgeformt und muss nur noch zeigen, dass

ac + bd ≤ a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2+b^2 d^2

jemand eine idee? es geht um reelle zahlen

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, für alle w, z ∈ ℂ gilt ...

Stichworte: beweis

Aufgabe:

Beweisen Sie:

Für alle w, z ∈ℂ gilt:

1. |w + z| ≤ |w| + |z| 

2. |w − z| ≥ ||w| − |z||

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/96521/dreiecksungleichung-beweisen-komplexen-zahlen

Answer 1

$$\left| \lambda +\mu  \right| \le \left| \lambda  \right| +\left| \mu  \right|$$$$\Leftrightarrow \left| a+ib+c+id \right| \le \left| a+ib \right| +\left| c+id \right|$$$$\Leftrightarrow \left| a+c+i(b+d) \right| \le \left| a+ib \right| +\left| c+id \right|$$$$\Leftrightarrow \sqrt { { \left( a+c \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+d \right)  }^{ 2 } } \le \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }$$Soweit warst du ja schon. Nun quadrieren: $$\Leftrightarrow { \left( a+c \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+d \right)  }^{ 2 }\le { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }+2ac+{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2bd+{ d }^{ 2 }\le { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 }+2\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow 2ac+2bd\le 2\sqrt { { (a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) }$$$$\Leftrightarrow ac+bd\le \sqrt { { (a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) }$$Noch einmal quadrieren:$$\Leftrightarrow { \left( ac+bd \right)  }^{ 2 }\le { (a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 })$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+2abcd+{ b }^{ 2 }d^{ 2 }\le { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ d }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }d^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 2abcd\le { a }^{ 2 }{ d }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 0\le { (a }d)^{ 2 }-2abcd+{ (bc) }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 0\le { (a }d)^{ 2 }-2(ad)(bc)+{ (bc) }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow 0\le { (a }d-bc)^{ 2 }$$Das ist eine immer wahre Aussage, da jede Quadratzahl größer gleich Null ist.

Comments

Schöne Umformung! Eine Frage hätte ich noch: Woher weisst du vor dem erneuten Quadrieren, dass
ac + bd > 0 ist?

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Woher weisst du...

Hmmm, das weiß ich leider gar nicht - und damit gilt mein "Beweis" leider nur für den Fall

ac + bd ≥ 0

was natürlich unbefriedigend ist. :-(

Seit ich diese Frage beantwortet habe, ging sie mir nicht mehr aus dem Kopf. Irgendwie war mir wohl "intuitiv" klar, dass da noch ein Haken sein musste  - jetzt weiß ich warum ... 

Hast du eine Lösung für den anderen Fall, also für a c + bd < 0 ?

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Ich hab leider keinen besseren Beweis und überlege gerade, was tatmas da gemacht hat. Der erste Schritt sieht wie eine Division durch den Betrag von lambda aus.

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Geometrische Lösung für \( \sqrt { { \left( a+c \right)  }^{ 2 }+{ \left( b+d \right)  }^{ 2 } } \le \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \)

In der Ebene definieren wir zwei Punkte A = (a,b) und B = (-c,-d). Sei O = (0,0).

Linke seite ist die Strecke AB.

Rechte Seite ist die Summe der Strecken AO + BO. Aus der Dreiecksungleichung fogt die Ungleichung.

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@jc22: Aus welcher Dreiecksungleichungen soll das folgen? Dafür brauchst du doch die Dreicksungleichung in der Ebene, also die für komplexe Zahlen. Das sieht mir stark nach Zirkelschluß aus.

Answer 2

Für lambda=0 ist die Dreicksungleichung offensichtlich richtig. Damit können wir o.E. durch lambda teilen und müssen so nur noch die einfachere Aussage $$|1+z|\leq 1+ |z|$$ zeigen. (z=x+iy) Die Auusage wiederrum ist gleichwertig zu $$(|1+z|)^2 \leq (1+|z|)^2$$. Es gilt: $$|1+z|^2 -=(1+z)(1+\bar{z})=1+z\bar{z}+(z+\bar{z})=1+|z|^2+2Re(z)$$. Damit ist $$ |1+z|^2-(1+|z|)^2=1+2|z|+|z|^2-1-|z|^2-2Re(z)=2(|z|-Re(z))\geq 0 $$, denn es gilt $$|Re(z)| \leq |z|$$.

Comments

Das verstehe ich leider nicht.

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Mir ist die erste Umformung nicht ganz klar. Teilst du da durch lambda oder durch den Betrag von lambda?

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@Lu: So wie's da steht. y:=u/lambda @jc22: Wolltest du nur das mitteilen oder hast du auch eine Frage?

Answer 3

die Ungleichung gilt offensichtlich für \(\lambda+\mu=0\). Sonst ist$$1=\frac{\lambda+\mu}{\lambda+\mu}=\frac\lambda{\lambda+\mu}+\frac\mu{\lambda+\mu}=\operatorname{Re}\left(\frac\lambda{\lambda+\mu}\right)+\operatorname{Re}\left(\frac\mu{\lambda+\mu}\right).$$(Die Imaginärteile addieren sich zu Null.) Es folgt$$1\leq\left|\frac\lambda{\lambda+\mu}\right|+\left|\frac\mu{\lambda+\mu}\right|\Rightarrow|\lambda+\mu|\leq|\lambda|+|\mu|.$$