Aufgabe:
Seien X1, X2, . . . unabhängige, identisch exponential-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter α > 0. Setze Mn := max(X1, . . . ,Xn), n ∈ N. Zeige:
a) Mn hat Verteilungsfunktion x 7→ (1 − e^−αx)^n und Dichte x→nαe^−αx(1 − e^-αx)^n−1, x > 0.
b) Median(Mn) = −α^−1log(1 − (1/2)^1/n) und Mode(Mn) = α^(−1)log n.
Problem/Ansatz:
Zu b Der Median ist das 50%-Quantil und der Mode falls dieser exestiert ist die Stelle x, wo die Dichte maximal wird.