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Aufgabe:

Seien X1, X2, . . . unabhängige, identisch exponential-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter α > 0. Setze Mn := max(X1, . . . ,Xn), n ∈ N. Zeige:

a) Mn hat Verteilungsfunktion x 7→ (1 − e^−αx)^n und Dichte x→nαe^−αx(1 − e^-αx)^n−1, x > 0.
b) Median(Mn) = −α^−1log(1 − (1/2)^1/n) und Mode(Mn) = α^(−1)log n.


Problem/Ansatz:

Zu b Der Median ist das 50%-Quantil und der Mode falls dieser exestiert ist die Stelle x, wo die Dichte maximal wird.

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Um was geht es? Hast du die a) lösen können? Geht es dir also nur um b)?

Ne auf die a komme ich auch nicht.

das wäre mein ansatz Aus der Definition des Maximums Mn folgt
P[Mn ≤ t] = P[max{X1, ..., Xn} ≤ t] = P[X1 ≤ t, ..., Xn ≤ t].

und weier komme ich nicht

verwende nun, dass \(X_1,...,X_n \) unabhängig sind. Wie \(\mathbb{P}(X_i \leq t) \) für \( i = 1,...,n\) aussieht, weißt du ja.

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