Verteilungsfuntion, Dichte, Median und Mode

Question

Aufgabe:

Seien X1, X2, . . . unabhängige, identisch exponential-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter α > 0. Setze Mn := max(X1, . . . ,Xn), n ∈ N. Zeige:

a) Mn hat Verteilungsfunktion x 7→ (1 − e^−αx)^n und Dichte x→nαe^−αx(1 − e^-αx)^n−1, x > 0.
b) Median(Mn) = −α^−1log(1 − (1/2)^1/n) und Mode(Mn) = α^(−1)log n.

Problem/Ansatz:

Zu b Der Median ist das 50%-Quantil und der Mode falls dieser exestiert ist die Stelle x, wo die Dichte maximal wird.

Comments

Um was geht es? Hast du die a) lösen können? Geht es dir also nur um b)?

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Ne auf die a komme ich auch nicht.

das wäre mein ansatz Aus der Definition des Maximums Mn folgt
P[Mn ≤ t] = P[max{X1, ..., Xn} ≤ t] = P[X1 ≤ t, ..., Xn ≤ t].

und weier komme ich nicht

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verwende nun, dass \(X_1,...,X_n \) unabhängig sind. Wie \(\mathbb{P}(X_i \leq t) \) für \( i = 1,...,n\) aussieht, weißt du ja.