Genau dann ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn λ ein Eigenwert von A ist

Question

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und sei B = (v_1, . . . , v_n) eine Basis von V. Sei f ∈ End(V) und sei A := M_B,B(f) ∈ M_n×n (K) die Darstellungsmatrix. Sei φ_B : K^n → V der Isomorphismus definiert durch φ_B((x_1, . . . , x_n)^T ) = x_1*v_1 +...+x_n*v_n.

Zeigen Sie:
(i) Genau dann ist λ ∈ K ein Eigenwert von f, wenn λ ein Eigenwert von A ist.
(ii) Genau dann ist x ∈ K^n ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, wenn φ_B(x) ein
Eigenvektor von f zum Eigenwert λ ist.

Ich habe leider überhaupt keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen soll.. ich bedanke mich schon mal für jegliche Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

der genau passende Beweis hängt etwas von den Bezeichnungen aus Eurer Vorlesung ab. Insbesondere sind für mich die beiden Teilaufgaben (i) und (ii) praktisch identisch. Egal. Ich sehe das so (Ich verwende e statt lambda und T statt phi_B):

Der Zusammenhang zwischen A und f ist

$$\forall x \in K^n: \quad Ax=T^{-1}fTx \text{  und }\forall v \in V:\quad fv=TAT^{-1}v$$

Wenn also v Eigenvektor von f zum Eigenwert e ist, dann:

$$fv=ev \Rightarrow TAT^{-1}v=ev \Rightarrow AT^{-1}v=eT^{-1}v$$

Also ist \(T^{-1}v\) Eigenvektor von A zum Eigenwert e .

Analog beweist man die Umkehrung.

Gruß Mathhilf