Zeige, dass es sich um eine Sigma-Algebra handelt.

Question

Aufgabe:

Seien X,Y nichtleere Mengen und B eine δ-Algebra in Y und f : X -> Y eine Abbildung. Nun soll ich zeigen, dass

\( f^{-1} \)(B) := {\( f^{-1} \)(A) ∈ P(X) | A ∈ B} (P(X) ist die Potenzmenge) eine δ-Algebra ist.

Also ich will folgende 3 Sachen zeigen:

1. X ∈ \( f^{-1} \)(B)

2. Wenn a ∈ \( f^{-1} \)(B), dann ist auch \( a^{c} \) ∈ \( f^{-1} \)(B) (Komplement)

3. Seien a1,a2,... ∈ \( f^{-1} \)(B). Dann ist i=1∪∞ ai ∈ \( f^{-1} \)(B)

Nur leider scheitere ich schon am ersten Punkt. Ich hoffe ihr könnt mir zeigen, wie das geht. Danke im Voraus.

Comments

Bei 1 ist Dir schnell geholfen: Es ist Y in B und also \(X=f^{-1}(Y)\) in \(f^{-1}(B)\)

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Nur als Hinweis:

δ ist ein kleines Delta

Das kleine Sigma ist σ

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Danke für die Hilfe. Ah weil \( f^{-1} \) also die Umkehrabbildung existiert, muss f bijektiv sein oder?

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Nein. Hier bezeichnet

$$f^{-1}(A)=\{x \in X \mid f(x) \in A\}$$

das sog. Urbild von A unter f. Das hat (zunächst) nichts mit einer Umkehrfunktion zu tun, die auch dafür nicht existieren braucht.

PS: Die Bezeichnung \(f^{-1}(B)\) für die neue Sigma-Algebra halte ich für einen Stilbruch.

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Aber warum gilt dann X = \( f^{-1} \)(Y)?

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Für welche x aus X gilt denn \(f(x) \in Y\)?

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Naja so wie du fragst wahrscheinlich alle :D Weil es eine Abbildung ist, muss jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet werden?

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So ist es, die Aussage folgt unmittelbar aus der Grundvoraussetzung "f bildet X nach Y ab"