Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass es ein i ∈ {1,...,n} gibt, sodass

Question

Aufgabe: Es seien a1, . . . , an ∈ R. Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass es ein i ∈ {1,...,n} gibt, sodass

ai ≥ a1 +...+an/ n

Answer 1

Aloha :)

Wir nehmen an, dass für alle \(a_i\) gilt: \(\quad a_i<\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\quad\text{ für } i=1,\ldots,n\).

Dann gilt für die Summe all dieser \(a_i\):$$a_1+\ldots+a_n<\underbrace{\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}+\ldots+\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}}_{\text{n identische Summanden}}=n\cdot\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}=a_1+\ldots+a_n$$Da eine Zahl nicht kleiner als sie selbst sein kann, haben wir einen Widerspruch erhalten, sodass unsere Annahme falsch sein muss.

Es gibt also mindestens ein \(i\in\{1,\ldots,n\}\) mit \(a_i\ge\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\)