KanggT Formel beweisen

Question

Aufgabe:

Sei a,b größer Null und c (auch größer als null) ein teiler von a mit der Eigenschaft ggT(b,c)=1. Man beweise ggT(a,bc)=ggT(a,b)*c

Kann jemand helfen?

Ich komme bisher nur auf ggT(a,bc) = ggT(a,b)*ggT(a,c)….

Comments

Wenn c ein Teiler von a ist, ist doch ggT(a,c)=c

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Sorry, das habe ich zu spät gesehen.

Answer 1

Für eine nat. Zahl \(n>0\)  und eine Primzahl \(p\) bezeichne

\(v_p(n)\) den Exponenten von \(p\) in der Primfaktorzerlegung von \(n\).

Für jede Primzahl \(p\) gilt dann wegen der jeweilig eindeutigen

Primfaktorzerlegung:

\(v_p(ggT(a,bc))=\min\{v_p(a),v_p(bc)\}=\min\{v_p(a),v_p(b)+v_p(c)\}\).

Wegen \(ggT(b,c)=1\) gilt \(v_p(b)=0\; \vee \; v_p(c)=0\)

Fall 1: \(v_p(b)=0\): \(v_p(ggT(a,bc))=\min\{v_p(a),v_p(c)\}=v_p(c)\),

da \(a\; | \; c\).

Fall 2: \(v_p(c)=0\). liefert \(v_p(ggT(a,bc))=v_p(ggT(a,b))\).

Hieraus ergibt sich die Behauptung.