Berechnen Sie folgendes Gebietsintegral

Question

Ich habe Probleme folgende Aufgabe zu lösen:

$$\text{Gegeben sei der reguläre Bereich }G=\{ \left\{x, y\right\}\in\mathbb{R}^2:\frac{5}{4}\pi<x<\frac{9}{4}\pi\text{ },sin(x)<y<cos(x)\}\text{. Man berechne das Integral: }\\ \int \limits_{G}^{}\vert y\vert dxdy \text{. Ich habe bisher folgendes aufgeschrieben: }\int \limits_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{9\pi}{4}}(\int \limits_{sin(x)}^{cos(x)} \vert y\vert dy)dx. \\ \text{Dazu habe ich mir erst einmal eine Skizze gemacht, um mir das Gebiet, über das integriert wird, zu visualisieren.}\\ \text{Jedoch habe ich Probleme mit dem }\vert y\vert \text{ umzugehen.}$$

Ich hatte es versucht, wie beim eindimensionalem integrieren zu lösen, also die Integrale aufzuteilen, aber hatte bis jetzt keinen Erfolg.

Würde mich über jede Hilfe freuen.

Casio991

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{x=\frac54\pi}^{\frac94\pi}\;\;\int\limits_{y=\sin(x)}^{\cos(x)}|y|\,dx\,dy=\int\limits_{x=\frac54\pi}^{\frac94\pi}dx\int\limits_{y=\sin(x)}^{\cos(x)}|y|\,dy=\int\limits_{x=\frac54\pi}^{\frac94\pi}dx\left[\frac{y|y|}{2}\right]_{y=\sin(x)}^{\cos(x)}$$$$\phantom I=\int\limits_{x=\frac54\pi}^{\frac94\pi}\left(\frac{\cos(x)|\cos(x)|}{2}-\frac{\sin(x)|\sin(x)|}{2}\right)\,dx$$

Wir überlegen uns die Vorzeichen der Winkelfunktionen$$\frac54\pi\le x\le\frac32\pi\implies\sin(x)\le0\;\land\;\cos(x)\le0$$$$\frac32\pi\le2\pi\implies\sin(x)\le0\;\land\;\cos(x)\ge0$$$$2\pi\le x\le\frac94\pi\implies\sin(x)\ge0\;\land\;\cos(x)\ge0$$um den Absolutbetrag aufzulösen:$$I=\int\limits_{x=\frac54\pi}^{\frac32\,\pi}\left(\frac{-\cos^2(x)}{2}-\frac{-\sin^2(x)}{2}\right)\,dx+\int\limits_{x=\frac32\pi}^{2\pi}\left(\frac{\cos^2(x)}{2}-\frac{-\sin^2(x)}{2}\right)\,dx$$$$\phantom I+\int\limits_{x=2\pi}^{\frac94\,\pi}\left(\frac{\cos^2(x)}{2}-\frac{\sin^2(x)}{2}\right)\,dx$$$$\phantom I=-\frac12\int\limits_{x=\frac54\pi}^{\frac32\,\pi}\cos(2x)\,dx+\frac12\int\limits_{x=\frac32\pi}^{2\pi}dx+\frac12\int\limits_{x=2\pi}^{\frac94\,\pi}\cos(2x)\,dx$$$$\phantom I=-\frac14\left[\sin(2x)\right]_{\frac54\pi}^{\frac32\,\pi}+\frac12\left[x\right]_{\frac32\pi}^{2\pi}+\frac14\left[\sin(2x)\right]_{2\pi}^{\frac94\,\pi}$$$$\phantom I=-\frac14\left(0-1\right)+\frac12\left(2\pi-\frac32\pi\right)+\frac14\left(1-0\right)=\frac12+\frac\pi4=\frac{\pi+2}{4}$$

Comments

Eine Frage bleibt mir dennoch: Wieso darf ich |y| einfach ganz normal integrieren, wie sonst auch?

Und vielen Dank für deine ausführliche Rechnung!

Casio991

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Im Kopf habe ich folgende Rechnung gemacht:$$\int|y|\,dy=\left\{\begin{array}{ll}\int y\,dy & \text{für }y\ge0\\[2ex]\int-y\,dy & \text{für }y<0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2}{2} & \text{für }y\ge0\\[2ex]-\frac{y^2}{2} & \text{für }y<0\end{array}\right\}=\frac{y\cdot|y|}{2}$$Beide Fälle habe ich zu einem Integral zusammengefasst:$$\int|y|\,dy=\frac{y|y|}{2}+\text{const}$$

Answer 2

Hallo

teile das integral über x auf in den teil wo y>0 und den wo y<0 dort ersetzt du es durch -y

zeichne am besten sin(x) und cos x in den Grenzen  zum teil ist es da y nur negativ oder nur positiv in anderen teilen musst du von 0 bis cos und sin(x) bis 0 aufteilen

lul