Wie kann man zeigen, ob eine Reihe konvergiert?

Question

Aufgabe

Konvergiert die Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n} ? \)

Ansatz:

Ich meine, die Folge a_{n} geht nicht gegen gegen Null und somit wäre die Reihe nicht konvergent! Würde das stimmen? Danke!

Answer 1

Aloha :)

Wenn du den Nenner eines positiven Bruchs vergrößerst, wird der Bruch kleiner. Daher können wir im Nenner jeden Faktor um \(1\) erhöhen und erhalten folgende Abschätzung:$$a_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}>\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{2(n+1)}$$Da die harmonische Reihe divergiert ist klar, dass$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n>\frac12\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}=\frac12\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$

Answer 2

Die ersten Teilsummen dieser Reihe lauten ungefähr [0.5, 0.875, 1.1875, 1.4609375, 1.70703125, 1.932617187, 2.142089843, 2.338470458, 2.523941040, 2.700138092]. Was kann man da vermuten?

Comments

Dass es nicht konvergiert?

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So sehe ich das auch. Ein Beweis ist das natürlich nicht.

Answer 3

Vielleicht kommt man so weiter:

Für das n-te Reihenglied kann man schreiben$$a_n=\frac{1}{4^n}{{2n}\choose n}$$