Welche Beziehung zwischen bestimmten Binomialkoeffizienten entspricht das?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 5 (aus MmF) Sei \( X \) eine endliche Menge mit genau \( n \) Elementen. Wir bezeichnen mit \( P_{k}(X) \) die Menge aller \( k \)-elementigen Teilmengen von \( X \), wobei \( 0 \leq k \leq n \).

Text erkannt:

(1) Zeige, dass die Funktion
\( f: P_{k}(X) \rightarrow P_{n-k}(X), \quad f(A)=X \backslash A \)
eine Bijektion ist. Gib die Umkehrabbildung \( g: P_{n-k}(X) \rightarrow P_{k}(X) \) an.
(2) Es folgt, dass \( \left|P_{k}(X)\right|=\left|P_{n-k}(X)\right| \). Welche Beziehung zwischen bestimmten Binomialkoeffizienten entspricht das?

Problem/Ansatz:

kann nicht verstehen, was ist diese Funktion f(A) = X\A ?

könntet ihr bitte sehr dringend damit helfen!!!

Vielen Dank im Voraus!!!!!!

Answer 1

was ist diese Funktion f(A) = X\A ?

Beispiel. \(n = 5\), \(X = \{a,b,c,d,e\}\), \(k = 2\).

Dann ist \(f\) eine Abbildung von der Menge der \(2\)-elementigen Teilemengen von \(X\) in die Menge der \(3\)-elementigen Teilmengen von \(X\).

Es ist

        \(f(\{b,e\}) = \{a,b,c,d,e\}\setminus \{b,e\} = \{a,c,d\}\).

Welche Beziehung zwischen bestimmten Binomialkoeffizienten entspricht das?

Die Beziehung besagt, dass es genau so viele \(2\)-elementigen Teilmengen von \(\{a,b,c,d,e\}\) gibt, wie \(3\)-elementigen Teilmengen.

Die Anzahl der \(k\)-elementigen Teilmengen einer \(n\)-elementigen Menge ist \(n\choose k\).

Comments

Ist diese Funktion eine Bijektion?

LG