Aloha :)
Mit dem binomischen Lehrsatz zeigen wir die erste Ungleichung:$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{\red{n!}}{k!\red{(n-k)!}}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\quad=\sum\limits_{k=0}^n\frac{\red{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}}{k!\cdot n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\underbrace{\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}}_{\le1}\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$$
Für die zweite Ungleichung überlegen wir uns für \(k\ge1\):$$\green{\frac{1}{k!}}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdots k}\green{\le}\frac{1}{1\cdot\underbrace{2\cdot2\cdots2}_{(k-1)\text{ Zweien}}}=\green{\frac{1}{2^{k-1}}}\quad\text{für }k\ge1$$
und erhalten mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^n\green{\frac{1}{k!}}=\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\green{\le}\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\green{\frac{1}{2^{k-1}}}=1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\blue{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac12\right)^k}$$$$\quad=1+\blue{\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)}}=1+\blue{2-2\left(\frac12\right)^n}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3$$
Damit gilt für alle \(n\in\mathbb N\):\(\quad\left(1+\frac1n\right)^n\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}<3\)
