Beweis zu Injektivität/Urbild

Question

Aufgabe:

Seien M, N Mengen. Zeigen Sie:
Eine Abbildung f : M → N ist genau dann injektiv, wenn für jedes y ∈ N das
Urbild f −1({y}) entweder leer ist oder höchstens ein Element enthält.

Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich angenommen, dass die Funktion injektiv ist und die Definition von Injektivität verwendet:

f(x₁) = f(x₂)  _⇒ x₁ = x₂

_{Daraus würde folgen, dass f −1({y1}) = f −1({y2}) und y1=y2.}

_{Somit hätte ich bewiesen, dass das Urbild genau ein Elemen erhält. Mein Problem ist es zu Zeigen, dass es höchstens ein Element enthält.}

_{Mein zweiter Versuch wäre Anwendung von der Definition, die ich gefunden habe:}

_{Eine Funktion f : X → Y ist injektiv, wenn es zu jedem Element y der Zielmenge Y höchstens ein (also eventuell gar kein) Element x der Ausgangs- oder Definitionsmenge X gibt, das darauf zielt. Daraus würde direkt folgen, dass das Urbild höhstens ein Element x erhält. Wäre das dann richtig? Und wenn ja, wie kann man das formell aufschreiben. Ich bin für jeden Tipp dankbar!}

Answer 1

Zuerst habe ich angenommen, dass die Funktion injektiv ist und die Definition von Injektivität verwendet:
f(x1) = f(x2)  ⇒ x1 = x2

Das kannst du doch so machen. Du musst ja zeigen, dass daraus folgt :

für jedes y ∈ N ist das Urbild f −1({y}) entweder leer
oder enthält höchstens ein Element.

Dazu brauchst du nur zu zeigen:

Es gibt kein y ∈ N idessen Urbild f −1({y}) mehr als ein Element

enthält.  Angenommen man hätte so ein y, dann gibt es

x1, x2 aus M mit x1≠x2 und f(x1) = f(x2).

Nach deiner Def. folgt daraus   x1=x2.    Widerspruch !

Damit ist die eine Richtung bewiesen.

Gegenrichtung: Sei f eine Abbildung f : M → N , bei der die für jedes y ∈ N das
Urbild f −1({y}) entweder leer ist oder höchstens ein Element enthält..

Dann musst du zeigen: Sind x1 und x2 aus M dann gilt
        f(x1) = f(x2)  ⇒ x1 = x2.

Seien also x1 und x2 aus M mit f(x1)=f(x2) =: y∈N

Dann sind x1 und x2 beide in f^(-1)( {y}).

Da f^(-1)( {y}) aber höchstens 1 Element enthält,

folgt x1=x2.