Ist die Behauptung über die Injektivität falsch (ich täusche mich vermutlich)?

Question

f:A→B ist injektiv genau dann, wenn ∀X⊂A: f^{-1}(f(X))=X

Ich habe bereits gezeigt, dass wenn f injektiv ist gilt: ∀X⊂A: f^{-1}(f(X))=X

Andersherum komme ich auf einen Widerspruch dieser Aussage.

Voraussetzung:∀X⊂A: f^{-1}(f(X))=X

Bew.: Seien m,n∈X beliebig, mit n≠m, aufgrund der Voraussetzung gilt:

f^{-1}(f({m,n}))={m,n}. Setzt man nun f({m,n}))=z, mit z∈B, also f(m)=f(n)=z, ist dies ein Widerspruch zur Injektivität.

Sie würde nur gelten, wenn bspw.  f({m,n}))={a,b}, mit a,b∈B, denn so wäre f(m)≠f(n) garantiert, da a,b nicht gleich sind. Nach Definition des Urbild wäre dann: f^{-1}({a,b})=f^{-1}(f({m,n}))={m,n}

Answer 1

du hast ein paar Fehler bezüglich der Notation:

Setzt man nun f({m,n}))=z, mit z∈B, also f(m)=f(n)=z, ist dies ein Widerspruch zur Injektivität.

Es müsste eher so heißen:

Setzt man nun f({m,n}))={z}, mit {z}⊂B, also f(m)=f(n)=z, ist dies ein Widerspruch zur Injektivität.

denn das Bild einer Teilmenge ist selbst eine Menge, es sei denn ihr habt einfach mal festgelegt, dass ihr bei einelementigen Mengen die Klammern vergessen dürft  ;).

Dein Denkfehler liegt aber darin, dass du bei der gegebenen Bedingung die obige Behauptung gar nicht aufstellen kannst, da sonst der Widerspruch \( f^{-1} f( \{m\} ) = \{m,n\} \neq \{m\} \) auftreten würde. Denk dran, dass deine Bedingung für alle Teilmengen \(X \subset A \) gilt!

Gruß,

Comments

:D ´nein, das entspricht nicht unserer Definition einer einelementigen Menge

Die Edelnuss bedankt sich bei dir, werde nun den Beweis vervollständigen. Ich wünsche dir eine gute Nacht :)